Propriétés de base orthonormales, exemples et exercices

Ongle base orthonormée Il est formé de vecteurs perpendiculaires entre eux et dont le module vaut également 1 (vecteurs unitaires). Rappelons-nous qu'une base B dans un espace vectoriel V, est défini comme un ensemble de vecteurs linéairement indépendants capables de générer ledit espace.

À son tour, un espace vectoriel est une entité mathématique abstraite dont les éléments sont des vecteurs, généralement associés à des grandeurs physiques telles que la vitesse, la force et le déplacement ou encore à des matrices, des polynômes et des fonctions..

Les vecteurs ont trois éléments distinctifs: la magnitude ou le module, la direction et le sens. Une base orthonormée est particulièrement utile pour les représenter et les utiliser, car tout vecteur appartenant à un certain espace vectoriel V, peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs qui forment la base orthonormée.

De cette manière, des opérations entre vecteurs sont exécutées analytiquement, telles que l'addition, la soustraction et les différents types de produits définis dans ledit espace..

Parmi les bases les plus utilisées en physique se trouve la base formée par des vecteurs unitaires je, j Oui k Ils représentent les trois directions distinctives de l'espace tridimensionnel: hauteur, largeur et profondeur. Ces vecteurs sont également connus sous le nom de vecteurs d'unité canonique.

Si à la place les vecteurs sont travaillés dans un plan, deux de ces trois composants suffiraient, tandis que pour les vecteurs unidimensionnels, un seul est nécessaire.

Index des articles

• 1 Propriétés des bases
• 2 Exemples de bases
  • 2.1 La base canonique de ℜ n
  • 2.2 La base canonique sur ℜ3
  • 2.3 Autres bases orthonormées en ℜ3
• 3 exercices résolus
  • 3.1 - Exercice 1
  • 3.2 - Exercice 2
• 4 Références

Propriétés des bases

1- Une base B est le plus petit ensemble possible de vecteurs qui génèrent l'espace vectoriel V.

2- Les éléments de B ils sont linéairement indépendants.

3- N'importe quelle base B d'un espace vectoriel V, permet d'exprimer tous les vecteurs de V comme une combinaison linéaire de celui-ci et cette forme est unique pour chaque vecteur. Par conséquent pour B il est également connu sous le nom de système de générateur.

4- Le même espace vectoriel V peut avoir différentes bases.

Exemples de bases

Voici plusieurs exemples de bases orthonormées et de bases en général:

La base canonique en ℜ ⁿ

Aussi appelé base naturelle ou base standard de ℜ ⁿ, où ℜ ⁿ est l'espace n dimensions, par exemple l'espace tridimensionnel est ℜ ³. À la valeur de n On l'appelle dimension de l'espace vectoriel et est noté dim (V).

Tous les vecteurs appartenant à ℜ ⁿ sont représentés par n-adas commandé. Pour l'espace ℜⁿ, la base canonique est:

et₁ = <1,0,… ,0>; et_deux = <0,1,… ,0>; ... et_n = <0,0,… ,1>

Dans cet exemple, nous avons utilisé la notation entre crochets ou «crochets» et en gras pour les vecteurs unitaires et₁, et_deux, et₃...

La base canonique en ℜ³

Les vecteurs familiers je, j Oui k admettez cette même représentation et tous les trois suffisent à représenter les vecteurs en ℜ ³:

je = <1,0,0 >; j = <0,1,0 >;  k = <0,0,1 >

Cela signifie que la base peut être exprimée comme ceci:

B = <1,0,0 >; <0,1,0 >;  <0,0,1 >

Pour vérifier qu'ils sont linéairement indépendants, le déterminant formé avec eux est non nul et également égal à 1:

Il devrait également être possible d'écrire n'importe quel vecteur appartenant à ℜ ³ comme une combinaison linéaire d’entre eux. Par exemple, une force dont les composantes rectangulaires sont F_X = 4 N, F_Oui = -7 N et F_z= 0 N serait écrit sous forme vectorielle comme ceci:

F = <4,-7,0 > N = 4je -7j + 0k N.

Donc je, j Oui k constituent un système générateur de ℜ ³.

Autres bases orthonormées en ℜ³

La base standard décrite dans la section précédente n'est pas la seule base orthonormée en ℜ³. Ici nous avons par exemple les bases:

B₁ = ; <- sen θ, cos θ,0 >;  <0,0,1 >

B_deux = <3/5, 4/5,0 >; <- 4/5, 3/5,0 >;  <0,0,1 >

On peut montrer que ces bases sont orthonormées, pour cela on retient les conditions qui doivent être remplies:

-Les vecteurs qui forment la base doivent être orthogonaux les uns aux autres.

-Chacun d'eux doit être unitaire.

On peut le vérifier sachant que le déterminant formé par eux doit être non nul et égal à 1.

Base B₁ c'est précisément celle des coordonnées cylindriques ρ, φ et z, une autre façon d'exprimer des vecteurs dans l'espace.

Exercices résolus

- Exercice 1

Montrez que la base B = <3/5, 4/5,0 >; <- 4/5, 3/5,0 >;  <0,0,1 > est orthonormé.

Solution

Pour montrer que les vecteurs sont perpendiculaires entre eux, nous utiliserons le produit scalaire, également appelé produit interne ou scalaire de deux vecteurs.

Soit deux vecteurs quelconques ou alors Oui v, son produit scalaire est défini par:

ou alors • v = u.v. cosθ

Pour distinguer les vecteurs de leurs modules, nous utiliserons du gras pour les premiers et des lettres normales pour les seconds. θ est l'angle entre ou alors Oui v, donc s'ils sont perpendiculaires, cela signifie que θ = 90º et le produit scalaire est nul.

Alternativement, si les vecteurs sont donnés en fonction de leurs composants: ou alors = X, ou alors_Oui,ou alors_z > et v = X, v_Oui,v_z >, le produit scalaire des deux, qui est commutatif, est calculé comme suit:

ou alors • v = ou alors_X .v_X + ou alors_Oui .v_Oui + ou alors_z .v_z

De cette manière, les produits scalaires entre chaque paire de vecteurs sont respectivement:

je) <3/5, 4/5,0 > • <- 4/5, 3/5,0 > = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3/5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4/5,0 > • <0, 0,1 > = 0

iii) <- 4/5, 3/5,0 > • <0, 0,1 > = 0

Pour la deuxième condition, le module de chaque vecteur est calculé, qui est obtenu par:

│u │ = √ (u_X^deux + ou alors_Oui^deux + ou alors_z^deux)

Ainsi, les modules de chaque vecteur sont:

│<3/5, 4/5,0 >│ = √ [(3/5)^deux + (4/5)^deux  + 0^deux)] = √ [(9/25) + (16/25)] = √ (25/25) = 1

│<-4/5, 3/5,0 >│ = √ [(-4/5)^deux + (3/5)^deux  + 0^deux)] = √ [(16/25) + (9/25)] = √ (25/25) = 1

│<0, 0,1 >│ = √ [0^deux + 0^deux  + 1^deux)] = 1

Par conséquent, tous les trois sont des vecteurs unitaires. Enfin, le déterminant qu'ils forment est non nul et égal à 1:

- Exercice 2

Écrivez les coordonnées du vecteur w = <2, 3,1 > au niveau de l'ancienne base.

Solution

Pour ce faire, le théorème suivant est utilisé:

Soit B = v₁, v_deux, v₃,... v_n une base orthonormée dans l'espace V avec produit interne, le vecteur w est représenté par B comme suit:

w = <w•v₁> v₁ + <w•v_deux> v_deux +<w•v₃> v₃ +... <w•v_n> v_n

Cela signifie que nous pouvons écrire le vecteur en base B, en utilisant les coefficients <w•v₁>, <w•v_deux>, ...  <w•v_n>, pour lesquels les produits scalaires indiqués doivent être calculés:

<2, 3,1 > • <3/5, 4/5,0 > = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12/5) = 18/5

<2, 3,1 > • <- 4/5, 3/5,0 > = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1 > • <0,0,1> = 1

Avec les produits scalaires obtenus, une matrice est construite, appelée matrice de coordonnées de w.

Par conséquent, les coordonnées du vecteur w en base B ils sont exprimés par:

[w]_B= [(5/18); (1/5); 1]

La matrice de coordonnées n'est pas le vecteur, puisqu'un vecteur ce n'est pas identique à ses coordonnées. Ce ne sont qu'un ensemble de nombres qui servent à exprimer le vecteur dans une base donnée, pas le vecteur en tant que tel. Ils dépendent également de la base choisie.

Enfin, suivant le théorème, le vecteur w serait exprimé comme ceci:

w = (18/5) v₁ + (1/5) v_deux + v₃

Avec: v₁ = <3/5, 4/5,0 >; v_deux = <- 4/5, 3/5,0 >; v₃ =  <0,0,1 >, c'est-à-dire les vecteurs de la base B.

Les références

1. Larson, R. Fondations de l'algèbre linéaire. 6e. Édition. Apprentissage Cengage.
2. Larson, R. 2006. Calcul. 7ème. Édition. Volume 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Algèbre linéaire. Unité 10. Bases orthonormales. Récupéré de: ocw.uc3m.es.
4. Université de Séville. Coordonnées cylindriques. Base de vecteur. Récupéré de: laplace.us.es.
5. Wikipédia. Base orthonormée. Récupéré de: es.wikipedia.org.