La principale classification des nombres réels il est divisé en nombres naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Les nombres réels sont représentés par la lettre R.
Il existe de nombreuses manières de construire ou de décrire les différents nombres réels, allant des formes les plus simples aux plus complexes, en fonction du travail mathématique à effectuer..
Les entiers naturels sont représentés par la lettre (n) et sont ceux utilisés pour compter (0,1,2,3,4…). Par exemple «il y a quinze roses dans le jardin "," La population du Mexique est 126 des millions de personnes »ou« La somme des deux Oui deux c'est quatre". Il convient de noter que certaines classifications incluent 0 comme nombre naturel et d'autres pas..
Les nombres naturels n'incluent pas ceux qui ont une partie décimale. Par conséquent, «La population du Mexique est 126,2 millions de personnes »ou« Cela fait une température de 24,5 degrés centigrades "ne pouvaient pas être considérés comme des nombres naturels.
Dans le langage courant, comme par exemple dans les écoles élémentaires, les nombres naturels peuvent être appelés à compter les nombres pour exclure les entiers négatifs et zéro..
Les nombres naturels sont les bases avec lesquelles de nombreux autres ensembles de nombres peuvent être construits par extension: les nombres entiers, les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes, entre autres..
Les propriétés des nombres naturels, telles que la divisibilité et la distribution des nombres primaires, sont étudiées en théorie des nombres. Les problèmes liés au comptage et au classement, tels que les dénombrements et le partitionnement, sont étudiés en combinatoire.
Ils ont plusieurs propriétés, telles que: addition, multiplication, soustraction, division, etc..
Les nombres naturels peuvent être ordinaux ou cardinaux.
Les nombres cardinaux seraient ceux qui sont utilisés comme nombres naturels, comme nous l'avons mentionné précédemment dans les exemples. "J'ai deux cookies "," Je suis le père de trois enfants "," La boîte comprend deux crèmes cadeaux ".
Les ordinaux sont ceux qui expriment un ordre ou indiquent une position. Par exemple, dans une course, l'ordre d'arrivée des coureurs est indiqué en commençant par le vainqueur et en terminant par le dernier ayant atteint la ligne d'arrivée..
De cette façon, on dira que le gagnant est le "premier", le suivant le "deuxième", le suivant le "troisième" et ainsi de suite jusqu'au dernier. Ces nombres peuvent être représentés par une lettre en haut à droite pour simplifier l'écriture (1er, 2ème, 3ème, 4ème, etc.).
Les entiers sont constitués de ces nombres naturels et de leurs opposés, c'est-à-dire des nombres négatifs (0, 1, -1, 2, -2, 50, -50…). Comme les nombres naturels, ceux-ci n'incluent pas non plus ceux qui ont une partie décimale.
Un exemple de nombres entiers serait "il y a 30º en moyenne en Allemagne", "je suis resté à 0 à la fin du mois", "pour descendre au sous-sol il faut appuyer sur le bouton -1 de l'ascenseur".
À leur tour, les nombres entiers ne peuvent pas être écrits avec une composante fractionnaire. Par exemple, des nombres comme 8,58 ou √2 ne sont pas des nombres entiers.
Les nombres entiers sont représentés par la lettre (Z). Z est un sous-ensemble du groupe de nombres rationnels Q, qui forment à leur tour le groupe des nombres réels R. Comme les nombres naturels, Z est un groupe dénombrable infini.
Les nombres entiers forment le plus petit groupe et le plus petit ensemble des nombres naturels. Dans la théorie algébrique des nombres, les entiers sont parfois appelés entiers irrationnels pour les distinguer des entiers algébriques..
L'ensemble des nombres rationnels est représenté par la lettre (Q) et comprend tous les nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction de nombres entiers.
Autrement dit, cet ensemble comprend des nombres naturels (4/1), des nombres entiers (-4/1) et des nombres décimaux exacts (15,50 = 1550/100).
L'expansion décimale d'un nombre rationnel se termine toujours après un nombre fini de chiffres (ex: 15,50) ou lorsque la même suite finie de chiffres commence à se répéter encore et encore (ex: 0,3456666666666666…). Par conséquent, dans l'ensemble des nombres rationnels, des nombres sont inclus. journaux purs ou journaux mixtes.
De plus, toute décimale répétitive ou terminale représente un nombre rationnel. Ces déclarations sont vraies non seulement pour la base 10, mais aussi pour toute autre base entière.
Un nombre réel qui n'est pas rationnel est appelé irrationnel. Les nombres irrationnels incluent √2, π et e, par exemple. Puisque l'ensemble des nombres rationnels est dénombrable et que le groupe des nombres réels n'est pas dénombrable, on peut dire que presque tous les nombres réels sont irrationnels..
Les nombres rationnels peuvent être formellement définis comme des classes d'équivalence de paires d'entiers (p, q) telles que q ≠ 0 ou la relation équivalente définie par (p1, q1) (p2, q2) uniquement si p1, q2 = p2q1.
Les nombres rationnels, avec l'addition et la multiplication, forment des champs qui composent des entiers et sont contenus par toute branche contenant des entiers..
Les nombres irrationnels sont tous des nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels; les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés sous forme de fractions. Les nombres rationnels sont des nombres composés de fractions de nombres entiers.
En conséquence de la preuve de Cantor qui dit que tous les nombres réels sont indénombrables et que les nombres rationnels sont dénombrables, on peut conclure que presque tous les nombres réels sont irrationnels..
Lorsque le rayon de longueur de deux segments de ligne est un nombre irrationnel, on peut dire que ces segments de ligne sont incommensurables; ce qui signifie qu'il n'y a pas une longueur suffisante pour que chacun d'eux puisse être "mesuré" avec un entier particulier multiple du même.
Parmi les nombres irrationnels, on trouve le rayon π d'une circonférence de cercle à son diamètre, le nombre d'Euler (e), le nombre d'or (φ) et la racine carrée de deux; de plus, toutes les racines carrées des nombres naturels sont irrationnelles. La seule exception à cette règle concerne les carrés parfaits..
On peut observer que lorsque des nombres irrationnels sont exprimés de manière positionnelle dans un système numérique, (comme par exemple en nombres décimaux) ils ne se terminent pas ou se répètent.
Cela signifie qu'ils ne contiennent pas une séquence de chiffres, la répétition par laquelle une ligne de la représentation est faite.
Par exemple: la représentation décimale du nombre π commence par 3,14159265358979, mais il n'y a pas de nombre fini de chiffres qui peuvent représenter π exactement, et ils ne peuvent pas non plus être répétés.
La preuve que l'expansion décimale d'un nombre rationnel doit se terminer ou se répéter est différente de la preuve qu'une extension décimale doit être un nombre rationnel; Bien que basiques et assez longs, ces tests demandent du travail.
Les mathématiciens n'utilisent généralement pas la notion de «fin ou répétition» pour définir le concept de nombre rationnel..
Les nombres irrationnels peuvent également être traités via des fractions non continues.
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