le Coefficient de Poisson c'est une quantité sans dimension, caractéristique de chaque matériau. C'est une indication de la déformation d'un morceau de matériau avant l'application de certaines forces.
Lorsqu'un morceau de matériau soumis à une tension, ou à une compression, subit une déformation, le quotient entre la déformation transversale et la déformation longitudinale est précisément le coefficient de Poisson.
Par exemple, un cylindre en caoutchouc qui est sollicité à ses extrémités s'étire dans la direction longitudinale, mais se rétrécit transversalement. La figure 1 montre une barre dont les dimensions d'origine sont: longueur L et diamètre D.
La barre est soumise à une tension T à ses extrémités, et en conséquence de cette tension elle subit un étirement, de sorte que la nouvelle longueur est L '> L. Mais lorsqu'elle est étirée, son diamètre se rétrécit également à la nouvelle valeur: D' < D.
Le quotient entre l'étirement (positif) et le rétrécissement (négatif) multiplié par (-1) est un nombre positif compris entre 0 et 0,5. Ce nombre est le soi-disant coefficient de Poisson ν (lettre grecque nu).
Index des articles
Pour calculer le coefficient de Poisson, il est nécessaire de déterminer la déformation longitudinale et transversale.
La déformation longitudinale εL est l'étirement divisé par la longueur d'origine:
εL = (L '- L) / L
De même, la déformation transversale εT est le cône radial divisé par le diamètre d'origine:
εT = (D '- D) / D
Par conséquent, le coefficient de Poisson est calculé à l'aide de la formule suivante:
ν = - εT / εL
Le coefficient de Poisson ν, est lié au module ET élasticité (ou module d'Young) et avec le module de rigidité g, en utilisant la formule suivante:
ν = E / (2G) - 1
Une barre d'une certaine matière plastique a une longueur de 150 mm et une section circulaire de 20 mm de diamètre. Lorsqu'il est soumis à une force de compression F de 612,25 kg-f, on observe un raccourcissement de 14 mm et simultanément une augmentation de 0,85 mm du diamètre de la barre.
Calculer:
a) Déformation longitudinale.
b) La déformation transversale.
c) Le coefficient de Poisson de ce matériau.
d) Module d'élasticité de Young correspondant au matériau.
e) Le module de rigidité pour ce plastique.
Rappelons que la déformation longitudinale εL est l'étirement divisé par la longueur d'origine:
εL = (L '- L) / L
εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933
Notez que la déformation longitudinale est sans dimension, et dans ce cas elle a été négative car il y a eu une diminution de sa dimension longitudinale.
De même, la déformation transversale εT est la conicité radiale, divisée par le diamètre d'origine:
εT = (D '- D) / D
εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425
La déformation transversale a été positive car il y a eu une augmentation du diamètre de la barre.
Pour le calcul du coefficient de Poisson, il faut se rappeler qu'il est défini comme le négatif du quotient entre la déformation transversale et la déformation longitudinale:
ν = - εT / εL
ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554
Il faut se rappeler que le coefficient de Poisson est un nombre sans dimension positif et pour la plupart des matériaux, il est compris entre 0 et 0,5.
Le module d'élasticité de Young, désigné par la lettre E, est la constante de proportionnalité dans la loi de Hooke. Par E, la contrainte normale σL est liée à la déformation εL, comme suit:
σL = E εL
La contrainte normale est définie comme le quotient entre la force normale (dans ce cas parallèle à l'axe de la barre) et la section transversale:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
Dans cet exercice, la force F est de 612,25 kg-f, qui doit être convertie en newtons, qui est l'unité de force SI:
F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN
Pour sa part, la section transversale de la zone A est:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2
Enfin, la contrainte normale appliquée à la barre est:
σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa
Pour calculer le module d'élasticité de Young, nous résolvons pour E à partir de la loi de Hooke σL = E εL:
E = σL / εL = 19 098 593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa
Le module de rigidité G est lié au module d'Young E et au coefficient de Poisson ν par cette formule:
E / (2 G) = 1 + ν
De là, vous pouvez résoudre pour G:
G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa
Il existe un câble en cuivre d'un diamètre de 4 mm et d'une longueur de 1 m. Sachant que le module de Young du cuivre est de 110 000 MPa et que son coefficient de Poisson est de 0,34, estimez l'étirement et le rétrécissement de diamètre que subit le fil lorsqu'un poids de 100 kg-f y est suspendu..
Tout d'abord, il est nécessaire de calculer la contrainte de traction normale que le poids exerce sur le fil, en suivant cette formule:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
La force F est de 980 N et la section transversale est:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2
Alors la contrainte de traction est:
σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77 986 000 Pa
Le module d'élasticité de Young, désigné par la lettre E, est la constante de proportionnalité dans la loi de Hooke qui relie la contrainte normale σL à la déformation εL:
σL = E εL
À partir de là, la déformation longitudinale du fil de cuivre peut être résolue:
εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4
Par contre, pour connaître la déformation transversale, le coefficient de Poisson est appliqué:
ν = - εT / εL
Enfin, nous avons que la déformation transversale est:
εT = -ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4
Enfin, pour connaître l'étirement absolu du câble, la relation suivante doit être appliquée:
ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm
Autrement dit, avec ce poids, le câble était à peine étiré de 0,709 millimètre.
Pour obtenir le retrait absolu en diamètre, nous utilisons la formule suivante:
ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0,000964 millimètres.
Ce rétrécissement de diamètre est si petit qu'il est difficile à voir à l'œil nu, même sa mesure nécessite un instrument de haute précision..
Personne n'a encore commenté ce post.