le coefficient de restitution est le quotient entre la vitesse relative de recul et la vitesse relative d'approche de deux corps en collision. Lorsque les corps sont unis après la collision, ce quotient est nul. Et l'unité vaut dans le cas où la collision est parfaitement élastique.
Supposons deux sphères de masse solides M1 et masse M2 respectivement qui subissent une collision. Juste avant la collision, les sphères avaient des vitesses V1 Oui V2 par rapport à un certain référentiel inertiel. Juste après la collision, leur vitesse passe à V1 ' Oui V2 '.
La lettre a été placée caractère gras dans les vitesses pour indiquer qu'il s'agit de quantités vectorielles.
Les expériences indiquent que chaque collision remplit la relation suivante:
V1 ' - V2 '= -et (V1 - V2)
Où et est un nombre réel compris entre 0 et 1, appelé le coefficient de restitution de la collision. L'expression ci-dessus est interprétée comme ceci:
La vitesse relative de deux particules avant la collision est proportionnelle à la vitesse relative des deux particules après la collision, la constante de proportionnalité est (-e), où e est le coefficient de restitution de la collision.
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L'utilité de ce coefficient réside dans la connaissance du degré d'inélasticité d'une collision. Dans le cas où la collision est parfaitement élastique, le coefficient sera de 1, tandis que dans une collision complètement inélastique le coefficient sera de 0, car dans ce cas, la vitesse relative après la collision est nulle..
Inversement, si le coefficient de restitution d'une collision et les vitesses des particules avant qu'il ne soit connu, alors les vitesses après la collision peuvent être prédites..
Dans les collisions, en plus de la relation qui établit le coefficient de restitution, il existe une autre relation fondamentale, qui est la conservation de l'élan.
Élan p d'une particule, ou impulsion comme on l'appelle aussi, est le produit de la masse M de la particule par sa vitesse V. C'est-à-dire: l'élan p est une quantité vectorielle.
Dans les collisions, l'élan linéaire P du système est le même juste avant et juste après la collision, car les forces externes sont négligeables par rapport aux forces brèves mais intenses d'interaction interne lors de la collision. Mais la conservation de l'élan ne suffit pas P du système pour résoudre le problème général de collision.
Dans le cas évoqué précédemment, celui des deux sphères de collision des masses M1 et M2, la conservation de l'impulsion linéaire s'écrit comme suit:
M1 V1 + M2 V2 = M1 V1 ' + M2 V2 ' .
Il n'y a aucun moyen de résoudre le problème de collision si le coefficient de restitution n'est pas connu. La conservation de la quantité de mouvement, bien que nécessaire, est insuffisante pour prédire les vitesses après collision.
Lorsqu'un problème indique que les corps restent en mouvement ensemble après la collision, il dit implicitement que le coefficient de restitution est de 0.
L'autre grandeur physique importante impliquée dans les collisions est l'énergie. Lors de collisions, il y a des échanges d'énergie cinétique, d'énergie potentielle et d'autres types d'énergie, comme l'énergie thermique.
Avant et après la collision, l'énergie potentielle d'interaction est pratiquement nulle, donc le bilan énergétique implique l'énergie cinétique des particules avant et après et une quantité Q appelée énergie dissipée.
Pour les deux sphères de masse en collision M1 et M2, le bilan énergétique avant et après la collision s'écrit comme suit:
½ M1 V1^ 2 + ½ M2 V2^ 2 = ½ M1 V1 '^ 2 + ½ M2 V2 '^ 2 + Q
Lorsque les forces d'interaction lors de la collision sont purement conservatrices, il arrive que le énergie cinétique totale des particules en collision est conservée, c'est-à-dire qu'il en est de même avant et après la collision (Q = 0). Lorsque cela se produit, la collision est dite parfaitement élastique..
En cas de collisions élastiques, aucune énergie n'est dissipée. Et en plus, le coefficient de restitution est conforme à: e = 1.
Au contraire, dans les collisions inélastiques Q ≠ 0 et 0 ≤ e < 1. Sabemos, por ejemplo, que la colisión de las bolas de billar no es perfectamente elástica porque el sonido que se emite durante el impacto es parte de la energía disipada.
Pour qu'un problème de collision soit parfaitement déterminé, il est nécessaire de connaître le coefficient de restitution, ou encore la quantité d'énergie dissipée lors de la collision.
Le coefficient de restitution dépend de la nature et du type d'interaction entre les deux corps lors de la collision..
De son côté, la vitesse relative des corps avant la collision définira l'intensité de l'interaction et donc son influence sur le coefficient de restitution..
Pour illustrer le calcul du coefficient de restitution d'une collision, nous prendrons un cas simple:
Supposons la collision de deux sphères de masses M1 = 1 kg Oui M2 = 2 kg se déplaçant sur un rail droit sans frottement (comme sur la figure 1).
La première sphère frappe avec la vitesse initiale V1 = 1 m / s sur le second qui est à l'origine au repos, c'est-à-dire V2 = 0 m / s.
Après la collision, ils continuent de bouger comme ceci: le premier s'arrête (V1 '= 0 m / s) et le second se déplace vers la droite avec la vitesse V2 '= 1/2 m / s.
Pour calculer le coefficient de restitution dans cette collision, nous appliquons la relation:
V1 ' - V2 ' = -et ( V1 - V2 )
0 m / s - 1/2 m / s = - e (1 m / s - 0 m / s) => - 1/2 = - e => e = 1/2 .
Dans la collision unidimensionnelle des deux sphères de la section précédente, leur coefficient de restitution a été calculé, ce qui a donné e = ½ .
Puisque e ≠ 1 la collision n'est pas élastique, c'est-à-dire que l'énergie cinétique du système n'est pas conservée et qu'il y a une certaine quantité d'énergie dissipée Q (par exemple, échauffement des sphères dû à la collision).
Déterminez la valeur de l'énergie dissipée en Joules. Calculez également la fraction en pourcentage d'énergie dissipée.
L'énergie cinétique initiale de la sphère 1 est:
K1i = ½ M1 V1 ^ 2 = ½ 1 kg (1 m / s) ^ 2 = ½ J
tandis que celle de la sphère 2 est nulle car elle est initialement au repos.
Alors l'énergie cinétique initiale du système est Ki = ½ J.
Après la collision, seule la seconde sphère se déplace avec une vitesse V2 '= ½ m / s, donc l'énergie cinétique finale du système sera:
Kf = ½ M2 V2 '^ 2 = ½ 2 kg (½ m / s) ^ 2 = ¼ J
Autrement dit, l'énergie dissipée lors de la collision est:
Q = Ki - Kf = (½ J - ¼ J) = 1/4 J
Et la fraction d'énergie dissipée dans cette collision est calculée comme suit:
f = Q / Ki = ¼ / ½ = 0,5 c'est-à-dire que 50% de l'énergie du système a été dissipée du fait de la collision inélastique dont le coefficient de restitution est de 0,5.
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