le coordonnées sphériques sont un système de localisation de points dans un espace tridimensionnel composé d'une coordonnée radiale et de deux coordonnées angulaires appelées coordonnées polaires et coordonnées azimutales.
La figure 1, que nous voyons ci-dessous, montre les coordonnées sphériques (r, θ, φ) d'un point M. Ces coordonnées sont référées à un système orthogonal d'axes cartésiens X, Y, Z d'origine O.
Dans ce cas, la coordonnée r du point M est la distance de ce point à l'origine O. La coordonnée polaire θ représente l'angle entre le demi-axe positif Z et le vecteur rayon OM. Alors que la coordonnée azimutale φ est l'angle entre le demi-axe positif X et le vecteur rayon OM ', où M' est la projection orthogonale de M sur le plan XY.
La coordonnée radiale r ne prend que des valeurs positives, mais si un point est situé à l'origine alors r = 0. La coordonnée polaire θ prend comme valeur minimale 0º pour les points situés sur le demi-axe positif Z et une valeur maximale 180º pour les points est située sur le demi-axe négatif Z. Enfin, la coordonnée azimutale φ prend comme valeur minimale 0º et une hauteur maximale de 360 °.
0 ≤ r < ∞
0 ≤ θ ≤ 180º
0 ≤ φ < 360º
Index des articles
Les formules permettant d'obtenir les coordonnées cartésiennes (x, y, z) d'un point M seront données ci-dessous, en supposant que les coordonnées sphériques du même point (r, θ, φ) soient connues:
x = r Sen (θ) Cos (φ)
y = r Sen (θ) Sen (φ)
z = r Cos (θ)
De la même manière, il est utile de trouver les relations pour aller des coordonnées cartésiennes (x, y, z) d'un point donné aux coordonnées sphériques dudit point:
r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)
φ = Arctan (y / x)
A partir des coordonnées sphériques, une base orthonormée de vecteurs de base est définie, qui sont désignées par Ur, Uθ, Uφ. La figure 1 montre ces trois vecteurs unitaires, qui ont les caractéristiques suivantes:
- Ur est le vecteur unitaire tangent à la ligne radiale θ = ctte et φ = ctte;
- Uθ est le vecteur unitaire tangent à l'arc φ = ctte et r = ctte;
- Uφ est le vecteur unitaire tangent à l'arc r = ctte et θ = ctte.
Le vecteur de position d'un point dans l'espace en coordonnées sphériques s'écrit comme ceci:
r = r Ur
Mais une variation ou un déplacement infinitésimal d'un point dans l'espace tridimensionnel, dans ces coordonnées, est exprimé par la relation vectorielle suivante:
rér = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) dφ Uφ
Enfin, un volume infinitésimal dV en coordonnées sphériques s'écrit comme ceci:
dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ
Ces relations sont très utiles pour calculer les intégrales de ligne et de volume dans des situations physiques à symétrie sphérique..
On entend par coordonnées géographiques celles qui servent à localiser des endroits à la surface de la terre. Ce système utilise les coordonnées de latitude et de longitude pour localiser la position à la surface de la Terre..
Dans le système de coordonnées géographiques, la surface de la Terre est supposée être sphérique de rayon Rt, même si elle est connue pour être aplatie aux pôles, et un ensemble de lignes imaginaires appelées parallèles et méridiens est considéré.
La latitude β est un angle formé par un rayon qui part du centre de la Terre jusqu'au point que vous souhaitez positionner. Il est mesuré à partir du plan équatorial, comme le montre la figure 2. D'autre part, la longitude α est l'angle que forme le méridien du point en cours de localisation par rapport au méridien zéro (connu sous le nom de méridien de Greenwich).
La latitude peut être la latitude nord ou sud, selon que l'endroit que vous localisez se trouve dans l'hémisphère nord ou dans l'hémisphère sud. De même, la longitude peut être ouest ou est selon que l'emplacement est à l'ouest ou à l'est du méridien zéro..
Pour obtenir ces formules, la première chose à faire est d'établir un système de coordonnées. Le plan XY est choisi pour coïncider avec le plan équatorial, le demi-axe X positif étant celui qui part du centre de la Terre et passe par le méridien zéro. À son tour, l'axe Y passe par le méridien de 90 ° E. La surface de la terre a un rayon Rt.
Avec ce système de coordonnées, les transformations géographiques en sphériques ressemblent à ceci:
αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)
αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)
αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)
αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)
Les coordonnées géographiques de Palma de Majorque (Espagne) sont:
Longitude Est 38.847º et Latitude Nord 39.570º. Pour déterminer les coordonnées sphériques correspondant à Palma de Majorque, la première des formules des formules de la section précédente est appliquée:
38 847 ° E 39 570 ° N → (r = 6371 km, θ = 90 °-39 570 °, φ = 38 847 °)
Les coordonnées sphériques sont donc:
Palma de Majorque: (r = 6371 km, θ = 50,43 °, φ = 38,85 °)
Dans la réponse précédente, nous avons pris r égal au rayon moyen de la Terre.
Sachant que les îles Falkland (Malvinas) ont des coordonnées géographiques de 59ºO 51.75ºS, déterminez les coordonnées polaires correspondantes. Rappelez-vous que l'axe X va du centre de la Terre au méridien 0º et sur le plan équatorial; l'axe Y également dans le plan équatorial et passant par le méridien 90º Ouest; enfin, l'axe Z sur l'axe de rotation de la Terre dans le sens Sud-Nord.
Pour trouver ensuite les coordonnées sphériques correspondantes nous utilisons les formules présentées dans la section précédente:
59ºO 51.75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51.75º, φ = 360º-59º) c'est-à-dire
Malouines: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)
Trouvez les coordonnées cartésiennes de Palma de Majorque dans le système de référence cartésien XYZ illustré à la figure 2.
Solution: Auparavant, dans l'exemple 1, les coordonnées sphériques étaient obtenues à partir des coordonnées géographiques de Palma de Majorque. Ainsi les formules présentées ci-dessus peuvent être utilisées pour passer du sphérique au cartésien:
x = 6371 km Sen (50,43 °) Cos (38,85 °)
y = 6371 km Sen (50,43 °) Sen (38,85 °)
z = 6371 km Cos (50,43 °)
En effectuant les calculs correspondants, nous avons:
Palma de Majorque: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)
Trouvez les coordonnées cartésiennes des îles Falkland dans le système de référence cartésien XYZ illustré à la figure 2.
Solution: Auparavant, dans l'exemple 2, les coordonnées sphériques étaient obtenues à partir des coordonnées géographiques des îles Falkland. Ainsi les formules présentées ci-dessus peuvent être utilisées pour passer du sphérique au cartésien:
x = 6371 km Sen (141,75 °) Cos (301 °)
y = 6371 km Sen (141,75 °) Sen (301 °)
z = 6371 km Cos (141,75 °)
En effectuant les calculs correspondants, nous obtenons:
Îles Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)
Personne n'a encore commenté ce post.