UNE quadrilatère est un polygone à quatre côtés et quatre sommets. Leur côtés opposés sont ceux qui n'ont pas de sommets en commun, alors qu'ils sont côtés consécutifs ceux avec un sommet commun.
Dans un quadrilatère, ils sont angles adjacents ceux qui partagent un côté, tandis que le angles opposés ils n'ont pas de côtés communs. Une autre caractéristique importante d'un quadrilatère est que la somme de ses quatre angles internes est le double de l'angle du plan, c'est-à-dire 360º ou 2π radians.
Diagonales sont les segments qui joignent un sommet avec son opposé et dans un quadrilatère donné, à partir de chaque sommet une seule diagonale peut être dessinée. Le nombre total de diagonales dans un quadrilatère est de deux.
Les quadrilatères sont des figures connues de l'humanité depuis l'Antiquité. Les archives archéologiques, ainsi que les constructions qui survivent aujourd'hui, en témoignent..
De même, aujourd'hui, les quadrilatères continuent d'avoir une présence importante dans la vie quotidienne de chacun. Le lecteur peut trouver ce formulaire sur l'écran dans lequel le texte est lu en ce moment même, sur les fenêtres, les portes, les pièces automobiles et d'innombrables autres endroits..
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Selon le parallélisme des côtés opposés, les quadrilatères sont classés comme suit:
À leur tour, les parallélogrammes peuvent être classés en fonction de leurs angles et de leurs côtés comme suit:
Le trapèze est un quadrilatère convexe à deux côtés parallèles.
- Dans un trapèze, les côtés parallèles sont appelés les bases et les non-parallèles sont appelés latéral.
- La la taille d'un trapèze est la distance entre les deux bases, c'est-à-dire la longueur d'un segment dont les extrémités sont aux bases et perpendiculaires à celles-ci. Ce segment est également appelé une hauteur du trapèze..
- La médian est le segment qui rejoint les milieux des latéraux. On peut montrer que la médiane est parallèle aux bases du trapèze et que sa longueur est égale à la demi-somme des bases.
- L'aire d'un trapèze est sa hauteur multipliée par la demi-somme des bases:
Aire d'un trapèze = hauteur * (base 1 + base 2) / 2
-Trapèze rectangle: Est celui avec une perpendiculaire latérale aux bases. Ce latéral est aussi la hauteur du trapèze.
-Trapèze isocèle: Celui avec des côtés de même longueur. Dans un trapèze isocèle, les angles adjacents aux bases sont égaux.
-Trapèze scalène: Celui avec ses côtés de différentes longueurs. Ses angles opposés peuvent être l'un aigu et l'autre obtus, mais il peut aussi arriver que les deux soient obtus ou que les deux soient aigus..
Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et les angles adjacents sont supplémentaires, ou en d'autres termes, les angles adjacents totalisent 180 °.
Si un parallélogramme a un angle droit, tous les autres angles le seront également et la figure résultante est appelée rectangle. Mais si le rectangle a également ses côtés adjacents de la même longueur, alors tous ses côtés sont égaux et la figure résultante est un carré.
Lorsqu'un parallélogramme a deux côtés adjacents de même longueur, tous ses côtés auront la même longueur et la figure résultante est un diamant.
La hauteur d'un parallélogramme est un segment avec des extrémités sur ses côtés opposés et perpendiculaires à eux..
L'aire d'un parallélogramme est le produit de la base par sa hauteur, la base étant un côté perpendiculaire à la hauteur (figure 6).
Aire d'un parallélogramme = base x hauteur = a. h
Le carré de la diagonale qui part d'un sommet est égal à la somme des carrés des deux côtés adjacents audit sommet plus le double produit de ces côtés par le cosinus de l'angle de ce sommet:
Fdeux = adeux + rédeux + 2 a d Cos (α)
Le carré de la diagonale opposée au sommet d'un parallélogramme est égal à la somme des carrés des deux côtés adjacents audit sommet et en soustrayant le produit double de ces côtés par le cosinus de l'angle de ce sommet:
gdeux = adeux + rédeux - 2 a d Cos (α)
Dans tout parallélogramme, la somme des carrés de ses côtés est égale à la somme des carrés des diagonales:
àdeux + bdeux + cdeux + rédeux = fdeux + gdeux
Le rectangle est un quadrilatère avec ses côtés opposés parallèles deux à deux et qui a également un angle droit. En d'autres termes, le rectangle est un type de parallélogramme à angle droit. Pour être parallélogramme, le rectangle a des côtés opposés de même longueur a = c et b = d.
Mais comme dans tout parallélogramme les angles adjacents sont supplémentaires et les angles opposés égaux, dans le rectangle parce qu'il a un angle droit, il formera nécessairement des angles droits dans les trois autres angles. C'est-à-dire dans un rectangle, tous les angles intérieurs mesurent 90 ° ou π / 2 radians.
Dans un rectangle, les diagonales sont de même longueur, comme cela sera démontré ci-dessous. Le raisonnement est le suivant; Un rectangle est un parallélogramme avec tous ses angles droits et hérite donc de toutes les propriétés du parallélogramme, y compris la formule qui donne la longueur des diagonales:
Fdeux = adeux+ rédeux + 2 a d Cos (α)
gdeux = adeux + rédeux - 2 a d Cos (α)
avec α = 90 °
Quoi Cos (90 °) = 0, alors il arrive que:
Fdeux = gdeux = adeux + rédeux
C'est-à-dire f = g, et donc les longueurs F Oui g des deux diagonales du rectangle sont égales et leur longueur est donnée par:
Longueur des diagonales d'un rectangle = √ (adeux + bdeux)
Aussi, si dans un rectangle avec des côtés adjacents à Oui b un côté est pris comme base, l'autre côté sera la hauteur et par conséquent l'aire du rectangle sera:
Aire du rectangle = a x b.
Le périmètre est la somme de tous les côtés du rectangle, mais comme les opposés sont égaux, il en résulte que pour un rectangle avec des côtés à Oui b le périmètre est donné par la formule suivante:
Périmètre du rectangle = 2 (a + b)
Le carré est un rectangle avec ses côtés adjacents de même longueur. Si le carré a un côté à, puis ses diagonales F Oui g ont la même longueur, ce qui est f = g = (√2) a.
L'aire d'un carré est son côté carré:
Aire d'un carré = adeux
Le périmètre d'un carré est deux fois le côté:
Périmètre d'un carré = 4 a
Le losange est un parallélogramme avec ses côtés adjacents de même longueur, mais comme dans un parallélogramme les côtés opposés sont égaux alors, tous les côtés d'un losange ont la même longueur.
Les diagonales d'un losange sont de longueur différente, mais se coupent à angle droit.
Montrez que dans un quadrilatère (non croisé) les angles internes totalisent 360 °.
Un quadrilatère ABCD est considéré (voir figure 10) et la diagonale BD est dessinée. Deux triangles ABD et BCD sont formés. La somme des angles intérieurs du triangle ABD est:
α + β1 + δ1 = 180 °
Et la somme des angles internes du triangle BCD est:
β2 + γ + δdeux = 180 °
En ajoutant les deux équations, nous obtenons:
α + β1 + δ1 + βdeux + γ + δdeux = 180 ° + 180 °
Regroupement:
α + (β1 + βdeux) + (δ1 + δdeux) + γ = 2 * 180º
En regroupant et en renommant, on montre enfin que:
α + β + δ + γ = 360º
Montrer que la médiane d'un trapèze est parallèle à ses bases et que sa longueur est la demi-somme des bases.
La médiane d'un trapèze est le segment qui rejoint les milieux de ses côtés, c'est-à-dire les côtés non parallèles. Dans le trapèze ABCD illustré à la figure 11, la médiane est MN.
Puisque M est le milieu de AD et N est le milieu de BC, il est vrai que les ratios AM / AD et BN / BC sont égaux.
Autrement dit, AM est proportionnel à BN dans la même proportion que AD est à BC, donc les conditions sont données pour l'application du théorème (réciproque) de Thales qui énonce ce qui suit:
"Si les segments proportionnels sont déterminés en trois lignes ou plus coupées par deux sécantes, alors ces lignes sont toutes parallèles".
Dans notre cas, on en conclut que les lignes MN, AB et DC sont parallèles entre elles, donc:
"Lla médiane d'un trapèze est parallèle à ses bases".
Maintenant, le théorème de Thales sera appliqué:
"Un ensemble de parallèles coupés par deux sécantes ou plus détermine des segments proportionnels".
Dans notre cas AD = 2 AM, AC = 2 AO, donc le triangle DAC est similaire au triangle MAO, et par conséquent DC = 2 MO.
Un argument similaire nous permet d'affirmer que CAB est similaire à CON, où CA = 2 CO et CB = 2 CN. Il s'ensuit immédiatement que AB = 2 ON.
En bref, AB = 2 ON et DC = 2 MO. Ainsi, lors de l'ajout, nous avons:
AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN
Enfin MN est effacé:
MN = (AB + DC) / 2
Et on en conclut que la médiane d'un trapèze mesure la demi-somme des bases, ou en d'autres termes: la médiane mesure la somme des bases, divisée par deux.
Montrer que dans un losange les diagonales se croisent à angle droit.
Le tableau noir de la figure 12 montre la construction nécessaire. Tout d'abord, le parallélogramme ABCD est dessiné avec AB = BC, c'est-à-dire un losange. Les diagonales AC et DB déterminent huit angles indiqués sur la figure.
En utilisant le théorème (a.i.p.) qui stipule que des angles intérieurs alternés entre des parallèles coupés par une sécante déterminent des angles égaux, nous pouvons établir ce qui suit:
α1 = γ1, α2 = γ2, δ1 = Β1 et δ2 = β2. (*)
D'autre part, comme les côtés adjacents d'un losange sont de longueur égale, quatre triangles isocèles sont déterminés:
DAB, BCD, CDA et ABC
Maintenant, le théorème du triangle (isocèle) est invoqué, qui déclare que les angles adjacents à la base sont de mesure égale, d'où il est conclu que:
δ1 = β2, δ2 = β1, α2 = γ1 et α1 = γ2 (**)
Si les relations (*) et (**) sont combinées, l'égalité d'angle suivante est atteinte:
α1 = α2 = γ1 = γ1 d'une part et β1 = Β2 = δ1 = δ2 de l'autre.
En rappelant le théorème des triangles égaux qui stipule que deux triangles avec un côté égal entre deux angles égaux sont égaux, nous avons:
AOD = AOB et par conséquent aussi les angles ∡AOD = ∡AOB.
Alors ∡AOD + ∡AOB = 180º, mais comme les deux angles sont de mesure égale, nous avons 2 ∡AOD = 180º ce qui implique que ∡AOD = 90º.
Autrement dit, il est montré géométriquement que les diagonales d'un losange se croisent à angle droit.
Montrer que dans un trapèze droit, les angles non droits sont complémentaires.
Le trapèze ABCD est construit avec des bases AB et DC parallèles. L'angle intérieur du sommet A est juste (il mesure 90º), nous avons donc un trapèze droit.
Les angles α et δ sont des angles internes entre deux parallèles AB et DC, ils sont donc égaux, c'est-à-dire δ = α = 90º.
D'autre part, il a été montré que la somme des angles internes d'un quadrilatère s'élève à 360 °, soit:
α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.
Ce qui précède conduit à:
β + δ = 180 °
Confirmant ce que l'on voulait montrer, que les angles β et δ sont complémentaires.
Un parallélogramme ABCD a AB = 2 cm et AD = 1 cm, en plus l'angle BAD est de 30º. Déterminer l'aire dudit parallélogramme et la longueur de ses deux diagonales.
L'aire d'un parallélogramme est le produit de la longueur de sa base par sa hauteur. Dans ce cas, la longueur du segment b = AB = 2 cm sera prise comme base, l'autre côté a la longueur a = AD = 1 cm et la hauteur h sera calculée comme suit:
h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.
Donc: Aire = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cmdeux.
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