Les événements complémentaires Ils sont définis comme tout groupe d'événements mutuellement exclusifs, dont l'union est capable de couvrir complètement l'espace échantillon ou les cas possibles d'une expérience (ils sont exhaustifs).
Leur intersection aboutit à l'ensemble vide (∅). La somme des probabilités de deux événements complémentaires est égale à 1. Autrement dit, 2 événements avec cette caractéristique couvrent complètement la possibilité d'événements d'une expérience.
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Un cas générique très utile pour comprendre ce type d'événement est de lancer un dé:
Lors de la définition de l'espace échantillon, tous les cas possibles proposés par l'expérience sont nommés. Cet ensemble est connu sous le nom de l'univers.
Espace d'échantillon (S):
S: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Les options non stipulées dans l'espace échantillon ne font pas partie des possibilités de l'expérience. Par exemple laisse le numéro sept sortir A une probabilité de zéro.
Selon l'objectif de l'expérimentation, des ensembles et sous-ensembles sont définis si nécessaire. La notation d'ensemble à utiliser est également déterminée en fonction de l'objectif ou du paramètre à étudier:
À : Laissez un nombre pair = 2, 4, 6
B: Obtenez un nombre impair = 1, 3, 5
Dans ce cas À Oui B ils sont Événements complémentaires. Parce que les deux ensembles sont mutuellement exclusifs (un nombre pair qui est impair à son tour ne peut pas sortir) et que l'union de ces ensembles couvre tout l'espace d'échantillonnage.
Les autres sous-ensembles possibles dans l'exemple ci-dessus sont:
C : Laisser un nombre premier = 2, 3, 5
D: x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3 = 4, 5, 6
Les décors A, B et C sont écrits en notation Descriptif Oui Analytique respectivement. Pour le tout ré la notation algébrique a été utilisée, puis les résultats possibles correspondant à l'expérience ont été décrits en notation Analytique.
On observe dans le premier exemple qu'être À Oui B événements complémentaires
À : Laissez un nombre pair = 2, 4, 6
B: Obtenez un nombre impair = 1, 3, 5
Les axiomes suivants sont valables:
Dans les statistiques et les études probabilistes, événements complémentaires font partie de la théorie de l'ensemble, étant très courante parmi les opérations menées dans ce domaine.
Pour en savoir plus sur le événements complémentaires, il est nécessaire de comprendre certains termes qui aident à les définir conceptuellement.
Ce sont des possibilités et des événements issus de l'expérimentation, capables d'offrir des résultats à chacune de leurs itérations. Les événements générer les données à enregistrer en tant qu'éléments d'ensembles et de sous-ensembles, les tendances de ces données justifient l'étude de la probabilité.
Des exemples d'événements sont:
Concernant la théorie des ensembles. UNE Complément fait référence à la partie de l'espace échantillon qui doit être ajoutée à un ensemble afin qu'il englobe son univers. C'est tout ce qui ne fait pas partie du tout.
Une façon bien connue de désigner le complément en théorie des ensembles est:
Un 'Complément de A
Il s'agit d'un schéma analytique de contenu graphique, largement utilisé dans les opérations mathématiques impliquant des ensembles, des sous-ensembles et des éléments. Chaque ensemble est représenté par une lettre majuscule et une figure ovale (cette caractéristique n'est pas obligatoire dans son utilisation) qui contient chacun de ses éléments.
Les événements complémentaires visible directement dans les diagrammes de Venn, puisque sa méthode graphique permet d'identifier les compléments correspondant à chaque ensemble.
La simple visualisation complète de l'environnement d'un ensemble, en omettant sa frontière et sa structure interne, permet de donner une définition au complément de l'ensemble étudié..
Sont des exemples de événements complémentaires succès et défaite dans un événement où l'égalité ne peut exister (un match de baseball).
Les variables booléennes sont événements complémentaires: Vrai ou faux, vrai ou faux, fermé ou ouvert, activé ou désactivé.
Être S l'ensemble d'univers défini par tous les nombres naturels inférieurs ou égaux à dix.
S: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Les sous-ensembles suivants de S
H: nombres naturels inférieurs à quatre = 0, 1, 2, 3
J: Multiples de trois = 3, 6, 9
K: Multiples de cinq = 5
L: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10
M: 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10
N: nombres naturels supérieurs ou égaux à quatre = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Décider:
Combien d'événements complémentaires peuvent être formés en reliant des paires de sous-ensembles de S?
Selon la définition de événements complémentaires Les paires qui répondent aux exigences sont identifiées (mutuellement exclusives et couvrent l'espace échantillon lors de la jonction). Ils sont événements complémentaires les paires de sous-ensembles suivantes:
Montre CA: (M ∩ K) '= L
0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 ∩ 5 = 5; L'intersection entre les ensembles produit les éléments communs entre les deux ensembles d'opérants. De cette façon, le 5 est le seul élément commun entre M Oui K.
5 '= 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 = L; Dû au fait que L Oui K sont complémentaires, le troisième axiome décrit ci-dessus est rempli (Chaque sous-ensemble est égal au complément de son homologue)
Définir: [(J ∩ H) U N] '
J ∩ H = 3 ; De manière homologue à la première étape de l'exercice précédent.
(J ∩ H) U N = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; Ces opérations sont dites combinées et sont généralement traitées avec un diagramme de Venn.
[(J ∩ H) U N] ' = 0, 1, 2; Le complément de l'opération combinée est défini.
Montre CA: [H U N] ∩ [J U M] ∩ [L U K] '= ∅
L'opération composée décrite dans les accolades fait référence aux intersections entre les unions des événements complémentaires. De cette manière, nous procédons à la vérification du premier axiome (L'union de deux événements complémentaires équivaut à l'espace échantillon).
[H U N] ∩ [J U M] ∩ [L U K] = S ∩ S ∩ S = S; L'union et l'intersection d'un ensemble avec lui-même génère le même ensemble.
Alors; S '= ∅ Par définition d'ensembles.
Définissez 4 intersections entre sous-ensembles, dont les résultats sont différents de l'ensemble vide (∅).
0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 ∩ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 = 4, 5, 7, 8, 10
0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 ∩ 0, 1, 2, 3 = 0, 1, 2, 3
3, 6, 9 ∩ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 = 6, 9
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