Facteur commun par regroupement de termes exemples, exercices

le facteur commun par regroupement de termes est une procédure algébrique qui permet d'écrire des expressions algébriques sous forme de facteurs. Pour atteindre cet objectif, il faut d'abord grouper l'expression de manière appropriée et observer que chaque groupe ainsi formé a, en effet, un facteur commun.

Appliquer correctement la technique nécessite un peu de pratique, mais en peu de temps, vous pouvez la maîtriser. Regardons d'abord un exemple illustratif décrit étape par étape. Ensuite, le lecteur peut appliquer ce qu'il a appris dans chacun des exercices qui apparaîtront plus tard.

Par exemple, supposons que vous deviez factoriser l'expression suivante:

2x^deux + 2xy - 3zx - 3zy

Cette expression algébrique se compose de 4 monômes ou termes, séparés par des signes + et -, à savoir:

2x^deux, 2xy, -3zx, -3zy

En regardant de plus près, x est commun aux trois premiers, mais pas au dernier, tandis que y est commun aux deuxième et quatrième, et z est commun aux troisième et quatrième..

Donc, en principe, il n'y a pas de facteur commun aux quatre termes en même temps, mais s'ils sont regroupés comme cela sera montré dans la section suivante, il est possible qu'il apparaisse un qui aide à écrire l'expression comme le produit de deux ou plus de facteurs.

Index des articles

• 1 Exemples
• 2 Questions importantes sur le facteur commun par regroupement
• 3 exercices
  • 3.1 - Exercice 1
  • 3.2 - Exercice 2
• 4 Références

Exemples

Factoriser l'expression: 2x^deux + 2xy - 3zx - 3zy

Étape 1: Grouper

2x^deux + 2xy - 3zx - 3zy = (2x^deux + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Étape 2: Trouvez le facteur commun de chaque groupe

2x^deux + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x^deux + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

jeimportant: le signe négatif c'est aussi un facteur commun dont il faut tenir compte.

Notez maintenant que les parenthèses (x + y) sont répétées dans les deux termes obtenus par regroupement. C'est le facteur commun recherché.

Étape 3: factoriser l'expression entière

2x^deux + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Avec le résultat précédent, l'objectif de la factorisation a été atteint, qui n'est autre que de transformer une expression algébrique basée sur des additions et des soustractions de termes, en le produit de deux ou plusieurs facteurs, dans notre exemple, de: (x + y) y (2x - 3z).

Questions importantes sur le facteur commun par regroupement

Numéro 1: Comment savoir que le résultat est correct?

Répondre: La propriété distributive est appliquée au résultat obtenu et après réduction et simplification, l'expression ainsi obtenue doit correspondre à l'original, sinon, il y a une erreur.

Dans l'exemple précédent, nous travaillons en sens inverse avec le résultat, pour vérifier qu'il est correct:

(x + y) (2x - 3z) = 2x^deux -3zx + 2xy - 3zy

Comme l'ordre des ajouts ne modifie pas la somme, après application de la propriété distributive, tous les termes originaux sont retournés, signes inclus, par conséquent, la factorisation est correcte.

Question 2: Aurait-il pu être groupé d'une autre manière?

Répondre: Il existe des expressions algébriques qui autorisent plus d'une forme de regroupement et d'autres qui ne le permettent pas. Dans l'exemple sélectionné, le lecteur peut essayer par lui-même d'autres possibilités, par exemple en regroupant comme ceci:

2x^deux + 2xy - 3zx - 3zy = (2x^deux- 3zx) + (2xy - 3zy)

Et vous pouvez vérifier que le résultat est le même que celui obtenu ici. Trouver le regroupement optimal est une question de pratique.

Question 3: Pourquoi est-il nécessaire de prendre un facteur commun d'une expression algébrique?

Répondre: Parce qu'il existe des applications dans lesquelles l'expression factorisée facilite les calculs. Par exemple, supposons que vous vouliez faire 2x^deux + 2xy - 3zx - 3zy égal à 0. Quelles seraient les possibilités?

Pour répondre à cette question, la version factorisée est bien plus utile que le développement original en termes. Il est indiqué comme ceci:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Une possibilité que l'expression soit 0 est que x = -y, quelle que soit la valeur de z. Et l'autre est que x = (3/2) z, quelle que soit la valeur de y.

Exercices

- Exercice 1

Prenons un facteur commun de l'expression suivante en regroupant les termes:

hache + ay + bx + par

Solution

Les deux premiers sont regroupés, avec le facteur commun «a» et les deux derniers avec le facteur commun «b»:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Une fois cela fait, un nouveau facteur commun est révélé, qui est (x + y), de sorte que:

ax + ay + bx + par = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Une autre façon de grouper

Cette expression prend en charge une autre façon de regrouper. Voyons ce qui se passe si les termes sont réorganisés et qu'un groupe est fait avec ceux qui contiennent x et un autre avec ceux qui contiennent y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

De cette façon, le nouveau facteur commun est (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Ce qui conduit au même résultat à partir du premier regroupement qui a été testé.

- Exercice 2

L'expression algébrique suivante doit être écrite comme le produit de deux facteurs:

3e³ - 3e^deuxb + 9ab^deux-à^deux+ab-3b^deux

Solution

Cette expression contient 6 termes. Essayons de regrouper les premier et quatrième, deuxième et troisième et enfin cinquième et sixième:

3e³ - 3e^deuxb + 9ab^deux-à^deux+ab-3b^deux = (3a³ -à^deux) + (- 3a^deuxb + 9ab^deux) + (ab-3b^deux)

Maintenant, chaque parenthèse est factorisée:

= (3a³ -à^deux) + (- 3a^deuxb + 9ab^deux) + (ab -3b^deux) = un^deux (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b)

À première vue, il semble que la situation ait été compliquée, mais le lecteur ne doit pas se décourager, puisque nous allons réécrire le dernier terme:

à^deux (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b) = a^deux (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Les deux derniers termes ont maintenant un facteur commun, qui est (3b-a), de sorte qu'ils peuvent être factorisés. Il est très important de ne pas perdre de vue le premier terme^deux (3a - 1), qui doit continuer à accompagner tout comme ajout, même si vous ne travaillez pas avec:

à^deux (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a^deux (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

L'expression a été réduite à deux termes et un nouveau facteur commun est découvert dans le dernier, qui est "b". Maintenant, il reste:

à^deux (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a^deux (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Le prochain facteur commun à apparaître est 3a - 1:

à^deux (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1) [a^deux + b (3b-a)]

Ou si vous préférez sans parenthèses:

(3a - 1) [a^deux + b (3b-a)] = (3a - 1) (a^deux -ab + 3b^deux)

Le lecteur peut-il trouver une autre façon de grouper qui mène au même résultat??

Les références

1. Baldor, A. 1974. Algèbre élémentaire. Culturelle Venezolana S.A.
2. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
3. Principaux cas d'affacturage. Récupéré de: julioprofe.net.
4. UNAM. Mathématiques de base: factorisation par regroupement de termes. Faculté de comptabilité et d'administration.
5. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. MacGraw Hill.