La fonction logarithmique est une relation mathématique qui associe chaque nombre réel positif X avec son logarithme Oui sur une base à. Cette relation répond aux exigences pour être une fonction: chaque élément x appartenant au domaine a une image unique.
Donc:
f (x) = y = logà X , avec un> 0 et différent de 1.
Les principales propriétés de la fonction logarithmique sont:
-Son domaine est composé de tous les réels supérieurs à 0, sans compter 0. En d'autres termes, il n'y a pas de logarithme de 0 ou de nombres négatifs dans aucune base. Sous forme d'intervalle:
Soleil F = (0, ∞ +)
-Le logarithme d'un nombre peut être négatif, positif ou 0, donc sa plage ou plage est:
Rgo F = (-∞, ∞ +)
-La fonction logarithmique est toujours croissante pour a> 1 et décroissante pour a<1.
-L'inverse de f (x) = logà X est la fonction exponentielle.
En effet, la fonction logarithme basée sur, est la fonction inverse de la fonction potentielle:
F-1(x) = aOui
Depuis le logarithme en base à d'un certain nombre X, C'est le nombre Oui à laquelle la base doit être élevée à pour obtenir X.
-Le logarithme de la base est toujours 1. Ainsi, le graphique de f (x) = logà X coupe toujours l'axe des x au point (1,0)
-La fonction logarithmique est transcendant et il ne peut pas être exprimé comme un polynôme ou comme un quotient de ceux-ci. En plus du logarithme, ce groupe comprend les fonctions trigonométriques et exponentielles, entre autres.
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La fonction logarithmique peut être établie par différentes bases, mais les plus utilisées sont 10 et et, où et est le nombre d'Euler égal à 2,71828 ... .
Lorsque la base 10 est utilisée, le logarithme est appelé logarithme décimal, logarithme vulgaire, Briggs ou tout simplement logarithme.
Et si le nombre e est utilisé, alors il est appelé un logarithme naturel, par John Napier, le mathématicien écossais qui a découvert les logarithmes..
La notation utilisée pour chacun est la suivante:
-Logarithme décimal: logdix x = log x
-Logarithme naturel: ln x
Lorsqu'une autre base doit être utilisée, il est absolument nécessaire de l'indiquer en indice, car le logarithme de chaque nombre est différent selon la base à utiliser. Par exemple, s'il s'agit de logarithmes en base 2, écrivez:
y = journaldeux X
Regardons le logarithme du nombre 10 dans trois bases différentes, pour illustrer ce point:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
Journaldeux 10 = 3,32193
Les calculatrices courantes n'apportent que les logarithmes décimaux (fonction log) et le logarithme naturel (fonction ln). Sur Internet, il existe des calculatrices avec d'autres bases. Dans tous les cas, le lecteur peut vérifier, avec son aide, que les valeurs ci-dessus sont vraies:
dix1 = 10
et2 3026 = 10 0001
deux3,32193 = 10,0000
Les petites différences décimales sont dues au nombre de décimales prises dans le calcul du logarithme.
L'un des avantages de l'utilisation des logarithmes est la facilité qu'ils offrent à travailler avec de grands nombres, en utilisant directement leur logarithme au lieu du nombre.
Cela est possible car la fonction logarithme croît plus lentement à mesure que les nombres augmentent, comme nous pouvons le voir dans le graphique.
Ainsi, même avec de très grands nombres, leurs logarithmes sont beaucoup plus petits et la manipulation de petits nombres est toujours plus facile..
De plus, les logarithmes ont les propriétés suivantes:
-Produit: log (a.b) = log a + log b
-Quotient: log (a / b) = log a - log b
-Pouvoir: enregistrer unb = b.log a
Et de cette manière, les produits et les quotients deviennent des additions et des soustractions de plus petits nombres, tandis que la potentialisation devient un simple produit même si la puissance est élevée..
C'est pourquoi les logarithmes nous permettent d'exprimer des nombres qui varient dans de très larges gammes de valeurs, telles que l'intensité du son, le pH d'une solution, la luminosité des étoiles, la résistance électrique et l'intensité des tremblements de terre sur l'échelle de Richter..
Voyons un exemple de la gestion des propriétés des logarithmes:
Trouvez la valeur de x dans l'expression suivante:
log (5x +1) = 1 + log (2x-1)
Nous avons ici une équation logarithmique, puisque l'inconnu est dans l'argument du logarithme. Il est résolu en laissant un seul logarithme de chaque côté de l'égalité.
Nous commençons par placer tous les termes qui contiennent "x" à gauche de l'égalité, et ceux qui ne contiennent que des nombres à droite:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Sur la gauche, nous avons la soustraction de deux logarithmes, qui peuvent être écrits comme le logarithme d'un quotient:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1
Cependant, sur la droite se trouve le numéro 1, que nous pouvons exprimer sous forme de log 10, comme nous l'avons vu précédemment. Ensuite:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10
Pour que l'égalité soit accomplie, arguments des logarithmes doivent être égaux:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
En 1957, un tremblement de terre s'est produit au Mexique dont la magnitude était de 7,7 sur l'échelle de Richter. En 1960, un autre tremblement de terre de plus grande magnitude s'est produit au Chili, de 9,5.
Calculez combien de fois le tremblement de terre au Chili a été plus intense que celui du Mexique, sachant que la magnitude MR sur l'échelle de Richter, il est donné par la formule:
MR = log (104 JE)
La magnitude sur l'échelle de Richter d'un tremblement de terre est une fonction logarithmique. Nous allons calculer l'intensité de chaque tremblement de terre, puisque nous avons les magnitudes de Richter. Faisons-le étape par étape:
-Mexique: 7,7 = log (104 JE)
Puisque l'inverse de la fonction logarithme est l'exponentielle, nous l'appliquons aux deux côtés de l'égalité avec l'intention de résoudre pour I, qui se trouve dans l'argument du logarithme.
Puisqu'il s'agit de logarithmes décimaux, la base est 10. Ensuite:
dix 7,7 = 104 je
L'intensité du tremblement de terre au Mexique était:
jeM = 10 7,7 / dix4 = 103,7
-le Chili: 9,5 = log (104 JE)
La même procédure nous amène à l'intensité du tremblement de terre chilien ICh:
jeCh = 10 9,5 / dix4 = 105.5
Nous pouvons maintenant comparer les deux intensités:
jeCh / JEM = 105.5 / dix3,7 = 101,8 = 63,1
jeCh = 63,1. jeM
Le tremblement de terre au Chili a été environ 63 fois plus intense que celui du Mexique. Comme la magnitude est logarithmique, elle croît plus lentement que l'intensité, donc une différence de 1 dans la magnitude signifie une amplitude 10 fois plus grande de l'onde sismique.
La différence entre les magnitudes des deux tremblements de terre est de 1,8, nous pourrions donc nous attendre à une différence d'intensité plus proche de 100 que de 10, comme cela s'est réellement produit..
En fait, si la différence avait été exactement de 2, le séisme chilien aurait été 100 fois plus intense que celui du Mexique..
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