Identités trigonométriques (exemples et exercices)

le identités trigonométriques sont des relations entre les rapports trigonométriques, qui sont vrais pour toute valeur de la variable. Par exemple:

tan θ = sin θ / cos θ

C'est une identité trigonométrique qui met en relation trois rapports de l'angle θ, de la tangente, du sinus et du cosinus dudit angle.

Cette identité est vraie pour toutes les valeurs, sauf celles qui font de 0 le dénominateur. Le cos θ est 0 pour θ = ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… Un autre exemple d'identité trigonométrique est:

sin x. sec x. ctg x = 1

Index des articles

• 1 démo
• 2 Types d'identités trigonométriques
  • 2.1 - Identités trigonométriques fondamentales
  • 2.2 - Identités pythagoriciennes
  • 2.3 - Formules pour le cosinus et le sinus de l'addition / soustraction des angles
  • 2.4 - Formules pour le double angle
  • 2.5 - Formules pour le demi-angle
• 3 exercices résolus
  • 3.1 - Exercice 1
  • 3.2 - Exercice 2
• 4 Références

Manifestation

Il y a deux manières de base pour montrer qu'une identité trigonométrique est vraie:

1- Transformer l'un des membres de l'égalité en l'autre, par des manipulations algébriques commodes.

2- Développer les deux membres de l'égalité séparément, jusqu'à ce que les expressions finales respectives de chacun soient exactement les mêmes.

Dans l'identité proposée, nous allons transformer le côté gauche de l'égalité, pour lequel nous exprimons ctg x et sec x en termes de sinus et cosinus comme suit:

ctg x = cos x / sin x

sec x = 1 / cos x

Nous substituons cette expression sur le côté gauche de l'identité et simplifions:

sin x. (1 / cos x). (cos x / sin x) = (sin x. cos x / cos x. sin x) = 1

Et la véracité de l'identité est déjà vérifiée.

Types d'identités trigonométriques

Il existe plusieurs classes d'identités trigonométriques. Nous en décrirons brièvement les principaux ci-dessous:

- Identités trigonométriques fondamentales

Nous distinguons deux types d'identités fondamentales:

I) Ceux qui sont exprimés par les rapports de base sinus, cosinus et tangente:

• sec x = 1 / cos x
• cosec x / 1 / sin x
• ctg x = 1 / tg x
• tg x = sin x / cos x
• ctg x = cos x / sin x

II) Ceux dérivés de la parité. Nous savons par son graphique que sin x est une fonction impaire, ce qui signifie que:

sin (-x) = - sin x

De son côté, cos x est une fonction paire, donc:

cos (-x) = cos x

Ensuite:

tg (-x) = sin (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x

De la même forme:

• cotg (-x) = -ctg x
• sec (-x) = sec x
• cosec (-x) = - cosec x

- Identités pythagoriciennes

Ils sont obtenus à partir de l'application du théorème de Pythagore au triangle rectangle des jambes a et b et de l'hypoténuse c. Voyons voir:

Le théorème de Pythagore déclare que:

c^deux = a^deux + b^deux

Diviser tout par c^deux:

c^deux / c^deux = (un^deux / c^deux) + (B^deux / c^deux)

Le terme à gauche est 1 et en rappelant que le sinus et le cosinus de l'angle aigu α sont définis comme:

sin α = a / c

cos α = b / c

Résultat:

1 = (sin α)^deux + (cos α)^deux

Cette identité est connue sous le nom de identité fondamentale.

La procédure peut être effectuée en divisant par un^deux et B^deux, ce qui donne lieu à deux autres identités:

seconde^deux α = 1 + tg^deux α

récolter^deux α = 1 + ctg^deux α

- Formules pour le cosinus et le sinus de l'addition / soustraction des angles

Les principales identités trigonométriques pour le cosinus, le sinus et la tangente d'addition et de soustraction sont les suivantes:

Preuve de sin (α + β) et cos (α + β)

Ces identités peuvent être prouvées géométriquement ou aussi par la formule d'Euler:

et^iα = cos α + i sin α

Voyons ce qu'il advient de la formule lors de la substitution de la somme de deux angles α et β:

et^{i (α +β)} = cos (α + β) + i sin (α + β)

Cette expression est complexe, sa partie réelle est cos (α + β) et sa partie imaginaire est i sin (α + β). Nous sauvegardons ce résultat pour une utilisation ultérieure et nous nous concentrons sur le développement de la partie exponentielle:

et^{i (α +β)} = e^iα ⋅ e^iβ = (cos α + i sin α). (cos β + i sin β) =

= cos α⋅cos β + cos α⋅i sin β + i⋅sen α cos β - sin α⋅sen β

La partie réelle de cette expression est celle qui n'est pas multipliée par l'unité imaginaire "i":

cos α⋅cos β - sin α. sin β

La partie imaginaire est donc:

i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β)

Pour que deux expressions complexes soient égales, la partie réelle de l'une doit être égale à la partie réelle de l'autre. La même chose se produit avec les parties imaginaires.

Nous prenons le résultat enregistré et le comparons à celui-ci:

cos α. cos β - sin α. sin β = cos (α + β)

i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β) = i sin (α + β)

sin (α + β) = (cos α. sin β + sin α⋅cos β)

- Formules pour le double angle

Dans les formules précédentes, nous prenons β = α et développons:

sin (α + α) = sin 2 α = sin α⋅cos α + cos α. sin α = 2⋅ sin α ⋅ cos α

cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α - sin α⋅sen α = cos^deux α - péché ^deux α

tg (α + α) = tg 2 α = [tg α + tg α] / [1- tg α⋅tg α] = 2tg α / 1- tg^deux α

Si dans la seconde expression on substitue cos^deux α = 1 - sin^deux α est obtenu:

cos 2 α = cos^deux α - (1- cos^deux α) = 2 cos^deux α -1

- Formules pour le demi-angle

Dans cette dernière expression, substituons α à α / 2, il reste ce qui suit:

cos α = 2 cos ^deux(α / 2) -1

Résoudre pour:

Exercices résolus

- Exercice 1

Montre CA:

Nous allons travailler le terme de gauche algébriquement pour qu'il ressemble au bon. Puisque sin x apparaît dans le bon terme, la première étape consiste à exprimer cos^deuxx en termes de sin x pour que tout soit en termes de même rapport trigonométrique:

Alors 1 - le péché est pris en compte^deux x parce que c'est une différence de carrés parfaits. Pour ce faire, il efface l'identité fondamentale:

cos^deuxx = 1 - péché^deux X

1 - sen^deux x = (1- sin x) (1 + sinx)

Et la factorisation est substituée dans l'expression originale:

Le terme (1- sinx) est simplifié et une égalité demeure:

1 + sin x = 1 + sinx

- Exercice 2

Résolvez l'équation trigonométrique suivante et donnez la solution pour les valeurs comprises entre 0 et 360 °:

tg x + sec^deux x = 3

Solution

Dans le terme de gauche, il y a deux rapports trigonométriques, il est donc nécessaire de tout réduire à un seul, afin de pouvoir résoudre l'inconnu. Le terme sec^deux x s'exprime à travers l'une des identités pythagoriciennes:

seconde^deux α = 1 + tg^deux α

La substitution dans l'équation reste:

tg x + 1 + tg^deux x = 3

Réorganiser les termes:

tg^deux x + tg x + 1 = 3

Cette équation est résolue en effectuant le changement de variable:

tg x = u

ou alors^deux + u + 1 - 3 = 0 → u^deux + u - 2 = 0

Cette équation quadratique est facilement résolue en factorisant:

(u +2) (u-1) = 0

Par conséquent, vous₁ = -2 et u_deux = 1, ce qui équivaut à:

tg x₁ = -2

tg x_deux = 1

Finalement:

X₁ = arctg (-2) = 296,6 °

X_deux  = arctg (1) = 45º

Les références

1. Carena, M. 2019. Manuel de mathématiques pré-universitaires. Université nationale du littoral.
2. Figuera, J. 1999. Mathématiques. 1er. Diversifié. Éditions collégiales bolivariennes.
3. Hoffman, J. Sélection de sujets de mathématiques. Volume 4.
4. Jiménez, R. 2008. Algèbre. Prentice Hall.
5. Wikipédia. Identités et formules de trigonométrie. Récupéré de: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. 4 façons de résoudre une équation quadratique. Récupéré de: francesphysics.blogspot.com.
7. Zill, D. 1984. Algèbre et trigonométrie. Mcgraw Hill.