le Algèbre de Boole o L'algèbre booléenne est la notation algébrique utilisée pour le traitement des variables binaires. Il couvre les études de toute variable qui n'a que 2 résultats possibles, complémentaires et mutuellement exclusifs. Par exemple, des variables dont la seule possibilité est vraie ou fausse, correcte ou incorrecte, activée ou désactivée sont à la base de l'étude de l'algèbre booléenne..
L'algèbre booléenne constitue la base de l'électronique numérique, ce qui la rend bien présente aujourd'hui. Elle est régie par le concept de portes logiques, où les opérations connues en algèbre traditionnelle sont notablement affectées.
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L'algèbre booléenne a été introduite en 1854 par le mathématicien anglais George Boole (1815 - 1864), qui était un érudit autodidacte de l'époque. Son inquiétude découle d'un différend existant entre Augustus De Morgan et William Hamilton, sur les paramètres qui définissent ce système logique..
George Boole a soutenu que la définition des valeurs numériques 0 et 1 correspond, dans le domaine de la logique, à l'interprétation Rien et l'univers respectivement.
L'intention de George Boole était de définir, à travers les propriétés de l'algèbre, les expressions de logique propositionnelle nécessaires pour traiter des variables de type binaire.
En 1854, les sections les plus importantes de l'algèbre booléenne ont été publiées dans le livre «Une enquête sur les lois de la pensée sur lesquelles reposent les théories mathématiques de la logique et des probabilités ".
Ce titre curieux se résumerait plus tard comme "Les lois de la pensée ». Le titre est devenu célèbre grâce à l'attention immédiate qu'il a reçue de la communauté mathématique de l'époque..
En 1948, Claude Shannon l'a appliqué à la conception de circuits de commutation électriques bistables. Cela a servi d'introduction à l'application de l'algèbre booléenne dans l'ensemble du schéma électronique-numérique..
Les valeurs élémentaires dans ce type d'algèbre sont 0 et 1, qui correspondent respectivement à FALSE et TRUE. Les opérations fondamentales de l'algèbre booléenne sont 3:
- ET opération ou conjonction. Représenté par un point (.). Synonyme de produit.
- OU opération ou disjonction. Représenté par une croix (+). Synonyme de la somme.
- PAS opération ou négation. Représenté par le préfixe NOT (NOT A). Aussi connu sous le nom de complément.
Si dans un ensemble A 2 les lois de composition interne sont définies, notées produit et somme (. +), Le triple (A. +) est dit algèbre booléenne si et seulement si ledit triple remplit la condition d'être un réseau distributif.
Pour définir un treillis distributif, les conditions de distribution doivent être remplies entre les opérations données:
. est distributif par rapport à la somme + à . (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ est distributif par rapport au produit. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Les éléments qui composent l'ensemble A doivent être binaires, ayant ainsi des valeurs de univers ou vide.
Son principal scénario d'application est la branche numérique, où il sert à structurer les circuits qui composent les opérations logiques impliquées. L'art de la simplicité des circuits afin d'optimiser les processus est le résultat de l'application correcte et de la pratique de l'algèbre booléenne..
De l'élaboration de panneaux électriques, en passant par la transmission de données, à la programmation dans différents langages, on retrouve fréquemment l'algèbre booléenne dans toutes sortes d'applications numériques..
Les variables booléennes sont très courantes dans la structure de la programmation. Selon le langage de programmation utilisé, il y aura des opérations structurelles dans le code qui utilisent ces variables. Les conditions et arguments de chaque langage admettent des variables booléennes pour définir les processus.
Il existe des théorèmes qui régissent les lois logiques structurelles de l'algèbre booléenne. De la même manière, il existe des postulats pour connaître les résultats possibles dans différentes combinaisons de variables binaires, en fonction de l'opération effectuée..
L'opérateur OU ALORS dont l'élément logique est l'union (U) est défini pour les variables binaires comme suit:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
L'opérateur ET dont l'élément logique est l'intersection (∩) est défini pour les variables binaires comme suit:
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
L'opérateur NE PAS dont l'élément logique est le complément (X) 'est défini pour les variables binaires comme suit:
PAS 0 = 1
PAS 1 = 0
Beaucoup de postulats diffèrent de leurs homologues de l'algèbre conventionnelle. Cela est dû au domaine des variables. Par exemple, l'ajout d'éléments d'univers en algèbre booléenne (1 + 1) ne peut pas donner le résultat conventionnel de 2, car il n'appartient pas aux éléments de l'ensemble binaire.
Toute opération simple qui implique un élément avec les variables binaires, est définie:
0 + A = A
1 + A = 1
0. A = 0
1 . A = A
Les opérations entre variables égales sont définies comme suit:
A + A = A
À . A = A
Toute opération entre une variable et son complément est définie comme:
A + PAS A = 1
À . PAS A = 0
Toute double négation sera considérée comme la variable naturelle.
PAS (PAS A) = A
A + B = B + A; Commutativité de la somme.
À . B = B. À ; Commutativité produit.
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Associativité de la somme.
À . (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Associativité des produits.
A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distributivité de la somme par rapport au produit.
À . (B + C) = (A. B) + (A + C); Distributivité du produit par rapport à la somme.
Il existe de nombreuses lois d'absorption parmi de multiples références, certaines des plus connues sont:
À . (A + B) = A
À . (PAS A + B) = A. B
PAS A (A + B) = PAS A. B
(A + B). (A + PAS B) = A
A + A. B = A
A + PAS A. B = A + B
PAS A + A. B = PAS A + B
À . B + A. PAS B = A
Ce sont des lois de transformation, qui gèrent des paires de variables qui interagissent entre les opérations définies de l'algèbre booléenne (+.).
PAS (A. B) = PAS A + PAS B
PAS (A + B) = PAS A. PAS B
A + B = PAS (PAS A + PAS B)
À . B = PAS (PAS A. PAS B)
Tous les postulats et théorèmes possèdent la faculté de dualité. Cela implique qu'en échangeant les variables et les opérations, la proposition résultante est vérifiée. Autrement dit, lors de l'échange de 0 pour 1 et ET pour OU ou vice versa; une expression est créée qui sera également complètement valide.
Par exemple, si vous prenez le postulat
1 . 0 = 0
Et la dualité est appliquée
0 + 1 = 1
Un autre postulat parfaitement valable est obtenu.
La carte de Karnaugh est un diagramme utilisé en algèbre booléenne pour simplifier les fonctions logiques. Il consiste en un agencement bidimensionnel similaire aux tables de vérité de la logique propositionnelle. Les données des tables de vérité peuvent être directement capturées sur la carte de Karnaugh.
La carte de Karnaugh peut accueillir des processus jusqu'à 6 variables. Pour les fonctions avec un nombre de variables plus élevé, l'utilisation d'un logiciel est recommandée pour simplifier le processus.
Proposé en 1953 par Maurice Karnaugh, il s'est imposé comme un outil fixe dans le domaine de l'algèbre booléenne, car sa mise en œuvre synchronise le potentiel humain avec la nécessité de simplifier les expressions booléennes, aspect clé de la fluidité des processus numériques..
L'algèbre booléenne est utilisée pour réduire les portes logiques dans un circuit, où la priorité est de ramener la complexité ou le niveau du circuit à son expression la plus basse possible. Cela est dû au retard de calcul que chaque porte suppose.
Dans l'exemple suivant, nous observerons la simplification d'une expression logique à son expression minimale, en utilisant les théorèmes et postulats de l'algèbre booléenne.
PAS (AB + A + B). PAS (A + PAS B)
PAS [A (B + 1) + B]. PAS (A + PAS B); Factorisation A avec un facteur commun.
PAS [A (1) + B]. PAS (A + PAS B); Par théorème A + 1 = 1.
PAS (A + B). PAS (A + PAS B); par le théorème A. 1 = A
(PAS A. PAS B). [ REMARQUE . NOT (NOT B)];
Par le théorème de Morgan NOT (A + B) = NOT A. PAS B
(PAS A. PAS B). (PAS A. B); Par théorème de double négation NOT (NOT A) = A
REMARQUE . PAS B. REMARQUE . B; Regroupement algébrique.
REMARQUE . REMARQUE . PAS B. B; Commutativité du produit A. B = B. À
REMARQUE . PAS B. B; Par le théorème A. A = A
REMARQUE . 0; Par le théorème A. PAS A = 0
0; Par le théorème A. 0 = 0
À . B. C + PAS A + A. PAS B. C
À . C. (B + NOT B) + NOT A; Factoring (A. C) avec facteur commun.
À . C. (1) + PAS A; Par théorème A + NOT A = 1
À . C + PAS A; Par règle du théorème zéro et de l'unité 1. A = A
PAS A + C ; Selon la loi de Morgan A + NOT A. B = A + B
Pour cette solution, la loi de Morgan doit être étendue pour définir:
PAS (PAS A). C + PAS A = PAS A + C
Parce que NOT (NOT A) = A par involution.
REMARQUE . PAS B. PAS C + PAS A. PAS B. C + PAS A. NOT C à son expression minimale
REMARQUE . PAS B. (PAS C + C) + PAS A. PAS C; Factoring (NOT A. NOT B) avec facteur commun
REMARQUE . PAS B. (1) + PAS A. PAS C; Par théorème A + NOT A = 1
(PAS A. PAS B) + (PAS A. PAS C); Par règle du théorème zéro et de l'unité 1. A = A
PAS A (PAS B + PAS C); Factoriser NOT A avec un facteur commun
REMARQUE . PAS (B. C); Par les lois de Morgan NON (A. B) = PAS A + PAS B
PAS [A + (B. C)] Par les lois de Morgan NON (A. B) = PAS A + PAS B
L'une des 4 options en gras représente une solution possible pour réduire le niveau du circuit
(A. PAS B. C + A. PAS B. B. D + PAS A. PAS B). C
(A. PAS B. C + A. 0. D + PAS A. PAS B). C; Par le théorème A. PAS A = 0
(A. PAS B. C + 0 + PAS A. PAS B). C; Par le théorème A. 0 = 0
(A. PAS B. C + PAS A. PAS B). C; Par théorème A + 0 = A
À . PAS B. C. C + PAS A. PAS B. C; Par distributivité du produit par rapport à la somme
À . PAS B. C + PAS A. PAS B. C; Par le théorème A. A = A
PAS B. C (A + PAS A) ; Affacturage (PAS B. C) avec facteur commun
PAS B. C (1); Par théorème A + NOT A = 1
PAS B. C; Par règle du théorème zéro et de l'unité 1. A = A
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