le angle inscrit d'un cercle C'est celui qui a son sommet sur la circonférence et ses rayons lui sont sécants ou tangents. En conséquence, l'angle inscrit sera toujours convexe ou plat..
Sur la figure 1, plusieurs angles inscrits dans leurs circonférences respectives sont représentés. L'angle ∠EDF est inscrit en ayant son sommet D sur la circonférence et ses deux rayons [DE) et [DF) coupant la circonférence.
De même, l'angle ∠HGI est inscrit, car il a son sommet sur la circonférence et ses côtés sécants à celui-ci.
Les angles ∠KJR et ∠UST sont également inscrits sur la circonférence. Le premier a un côté sécant et l'autre tangent, tandis que le second a ses deux côtés tangents à la circonférence, formant un angle inscrit dans un plan (180 °).
Certains auteurs appellent l'angle semi-inscrit que l'un de ses côtés a tangent à la circonférence, mais dans cet article, il est considéré comme inscrit..
Chaque angle inscrit définit ou sous-tend un arc qui lui est associé. Par exemple, sur la figure 2 l'angle inscrit ∠ABC sous-tend l'arc A⌒C de longueur d.
La même figure montre l'angle ∠DOE, qui n'est pas inscrit dans la circonférence car son sommet n'a pas sa circonférence, mais au centre O.
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En plus de l'angle inscrit, dans une circonférence le angle central, qui est celui dont le sommet est au centre de la circonférence et dont les côtés coupent la circonférence.
La mesure en radians d'un angle central est le quotient entre l'arc sous-jacent, c'est-à-dire l'arc de circonférence entre les côtés de l'angle, et le rayon de la circonférence.
Si la circonférence est unitaire (de rayon 1), alors la longueur de l'arc dans les mêmes unités de rayon est la mesure de l'angle en radians.
Et lorsque la mesure de l'angle en degrés est requise, la mesure en radians est multipliée par le facteur 180º / π.
Les instruments de mesure d'angle utilisent toujours un angle central et la longueur de l'arc sous-tendu par celui-ci est directement calibrée en degrés. Cela signifie que chaque fois qu'un angle est mesuré, en arrière-plan ce qui est mesuré est la longueur de l'arc sous-tendu par l'angle central.
La mesure d'un angle inscrit est la moitié de la mesure de l'angle central, si les deux angles sous-tendent le même arc.
Sur la figure 4, deux angles ∠ABC et ∠AOC sont représentés, qui coupent le même arc de circonférence A⌒C.
Si la mesure de l'angle inscrit est α, alors la mesure β de l'angle central est le double de la mesure de l'angle inscrit (β = 2 α) car les deux sous-tendent le même arc de mesure d.
Pour prouver le théorème 1, nous commencerons par montrer plusieurs cas particuliers, jusqu'à atteindre le cas général.
Supposons un angle inscrit, dans lequel l'un de ses côtés passe par le centre de la circonférence, comme le montre la figure 5.
Dans ce cas, le triangle isocèle COB est formé, puisque [OC] = [OB].
Dans un triangle isocèle, les angles adjacents à la base sont égaux, donc ∠BCO = ∠ABC = α. Par contre ∠COB = 180º - β.
En considérant la somme des angles internes du triangle COB, on a:
α + α + (180º - β) = 180º
D'où il résulte que 2 α = β, ou ce qui est équivalent: α = β / 2. Cela coïncide avec ce que dit le théorème 1: la mesure de l'angle inscrit est la moitié de l'angle central, si les deux angles sous-tendent la même corde [AC].
Dans ce cas, nous avons un angle inscrit ∠ABC, dans lequel le centre O de la circonférence est dans l'angle.
Pour prouver le théorème 1 dans ce cas, le rayon auxiliaire [BO) est dessiné, de sorte que nous avons deux angles inscrits ∠ABO et ∠OBC adjacents audit rayon.
De même, nous avons les angles centraux β1 et βdeux adjacent audit rayon. De cette façon, nous avons la même situation que dans la preuve 1a, donc on peut affirmer que αdeux = βdeux / 2 et α1 = β1 /deux. Puisque α = α1 + αdeux et β = β1 + βdeux il s'ensuit donc que α = α1 + αdeux = β1 / 2 + βdeux / 2 = (β1 + βdeux) / 2 = β / 2.
En conclusion α = β / 2, qui répond au théorème 1.
Si deux angles inscrits ou plus sous-tendent le même arc, ils ont la même mesure.
Les angles inscrits qui sous-tendent les accords de la même mesure sont égaux.
Montrer que l'angle inscrit qui sous-tend le diamètre est un angle droit.
L'angle central ∠AOB associé au diamètre est un angle plan, dont la mesure est de 180 °.
Selon le théorème 1, chaque angle inscrit dans la circonférence qui sous-tend la même corde (dans ce cas le diamètre), a pour mesure la moitié de l'angle central qui sous-tend la même corde, qui pour notre exemple est 180º / 2 = 90º.
La droite (BC) tangente en A à la circonférence C, détermine l'angle inscrit ∠BAC (voir figure 10).
Vérifiez que le théorème 1 des angles inscrits est rempli.
L'angle ∠BAC est inscrit car son sommet est sur la circonférence, et ses côtés [AB) et [AC) sont tangents à la circonférence, donc la définition de l'angle inscrit est satisfaite.
En revanche, l'angle inscrit ∠BAC sous-tend l'arc A, A, qui est toute la circonférence. L'angle central qui sous-tend l'arc A⌒A est un angle convexe dont la mesure est l'angle complet (360º).
L'angle inscrit qui sous-tend tout l'arc mesure la moitié de l'angle central associé, c'est-à-dire ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Avec tout ce qui précède, il est vérifié que ce cas particulier remplit le théorème 1.
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