Les nombres irrationnels sont ceux dont l'expression décimale a des chiffres infinis sans motif répétitif, par conséquent, ils ne peuvent pas être obtenus en faisant le quotient entre deux entiers quelconques.
Parmi les nombres irrationnels les plus connus, on trouve:
Parmi eux, sans aucun doute π (pi) est le plus connu, mais il y en a beaucoup plus. Tous appartiennent à l'ensemble des nombres réels, qui est l'ensemble numérique qui regroupe les nombres rationnels et irrationnels..
Les ellipses de la figure 1 indiquent que les décimales continuent indéfiniment, ce qui se passe, c'est que l'espace des calculatrices ordinaires ne permet d'afficher que quelques.
Si nous regardons attentivement, chaque fois que nous faisons le quotient entre deux nombres entiers, nous obtenons une décimale avec des chiffres limités ou sinon, avec des chiffres infinis dans lesquels un ou plusieurs sont répétés. Eh bien, cela ne se produit pas avec des nombres irrationnels..
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Le grand mathématicien ancien Pythagore, né en 582 avant JC à Samos, en Grèce, fonda l'école de pensée de Pythagore et découvrit le célèbre théorème qui porte son nom. Nous l'avons ici à gauche (peut-être que les Babyloniens le savaient déjà bien avant).
Eh bien, lorsque Pythagore (ou probablement un de ses disciples) a appliqué le théorème à un triangle rectangle avec des côtés égaux à 1, il a trouvé le nombre irrationnel √2.
Il l'a fait de cette façon:
c = √1deux + 1deux = √1 + 1 = √2
Et aussitôt il se rendit compte que ce nouveau nombre ne provenait pas du quotient entre deux autres nombres naturels, qui étaient ceux connus à l'époque.
Par conséquent, il l'a appelé irrationnel, et la découverte a causé une grande inquiétude et une grande confusion parmi les Pythagoriciens.
-L'ensemble de tous les nombres irrationnels est désigné par la lettre I et parfois par Q * ou QC. L'union entre les nombres irrationnels I ou Q * et les nombres rationnels Q, donne naissance à l'ensemble des nombres réels R.
-Avec des nombres irrationnels, les opérations arithmétiques connues peuvent être effectuées: addition, soustraction, multiplication, division, autonomisation et plus.
-La division par 0 n'est pas non plus définie entre les nombres irrationnels.
-La somme et le produit entre les nombres irrationnels ne sont pas nécessairement un autre nombre irrationnel. Par exemple:
√2 x √8 = √16 = 4
Et 4 n'est pas un nombre irrationnel.
-Cependant, la somme d'un nombre rationnel plus un nombre irrationnel aboutit à un irrationnel. De cette manière:
1 + √2 = 2,41421356237…
-Le produit d'un nombre rationnel autre que 0 par un nombre irrationnel est également irrationnel. Regardons cet exemple:
2 x √2 = 2,828427125…
-L'inverse d'un irrationnel aboutit à un autre nombre irrationnel. Essayons quelques-uns:
1 / √2 = 0,707106781…
1 / √3 = 0,577350269…
Ces nombres sont intéressants car ce sont aussi les valeurs de certains rapports trigonométriques d'angles connus. La plupart des rapports trigonométriques sont des nombres irrationnels, mais il y a des exceptions, comme sin 30º = 0,5 = ½, qui est rationnel.
-De plus, les propriétés commutatives et associatives sont remplies. Si a et b sont deux nombres irrationnels, cela signifie que:
a + b = b + a.
Et si c est un autre nombre irrationnel, alors:
(a + b) + c = a + (b + c).
-La propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition est une autre propriété bien connue qui vaut également pour les nombres irrationnels. Dans ce cas:
a. (b + c) = a.b + a.c.
-Un irrationnel a a son contraire: -a. Lorsqu'ils sont additionnés, le résultat est 0:
a + (- a) = 0
-Entre deux rationnels différents, il y a au moins un nombre irrationnel.
La ligne réelle est une ligne horizontale où se trouvent les nombres réels, dont les irrationnels sont une partie importante.
Pour trouver un nombre irrationnel sur la droite réelle, sous forme géométrique, on peut utiliser le théorème de Pythagore, une règle et une boussole.
A titre d'exemple, nous allons localiser √5 sur la droite réelle, pour laquelle nous dessinons un triangle rectangle avec des côtés x = 2 Oui y = 1, comme le montre l'image:
Selon le théorème de Pythagore, l'hypoténuse d'un tel triangle est:
c = √2deux + 1deux = √4 + 1 = √5
Maintenant, la boussole est placée avec le point à 0, où se trouve également l'un des sommets du triangle rectangle. La pointe du crayon boussole doit être au sommet A.
Un arc de circonférence est dessiné qui coupe à la ligne réelle. Étant donné que la distance entre le centre de la circonférence et tout point sur celui-ci est le rayon, qui est égal à √5, le point d'intersection est également éloigné de √5 du centre.
D'après le graphique, on peut voir que √5 est compris entre 2 et 2,5. Une calculatrice nous donne la valeur approximative de:
√5 = 2,236068
Et ainsi, en construisant un triangle avec les côtés appropriés, d'autres irrationnels peuvent être localisés, tels que √7 et d'autres.
Les nombres irrationnels sont classés en deux groupes:
-Algébrique
-Transcendant ou transcendantal
Les nombres algébriques, irrationnels ou non, sont des solutions d'équations polynomiales dont la forme générale est:
àn Xn + àn-1Xn-1 + àn-2Xn-2 +…. + un1x + aou alors = 0
Un exemple d'équation polynomiale est une équation quadratique comme celle-ci:
X3 - 2x = 0
Il est facile de montrer que le nombre irrationnel √2 est l'une des solutions de cette équation.
En revanche, les nombres transcendants, bien qu'irrationnels, ne se présentent jamais comme solution d'une équation polynomiale.
Les nombres transcendants les plus fréquemment rencontrés en mathématiques appliquées sont π, en raison de sa relation avec la circonférence et le nombre e, ou le nombre d'Euler, qui est la base des logarithmes naturels..
Un carré gris est placé sur un carré noir à la position indiquée sur la figure. La surface du carré noir est connue pour être de 64 cmdeux. Combien sont les longueurs des deux carrés?
L'aire d'un carré de côté L est:
A = Ldeux
Puisque le carré noir mesure 64 cmdeux de surface, son côté doit être de 8 cm.
Cette mesure est la même que la diagonale du carré gris. En appliquant le théorème de Pythagore à cette diagonale, et en se rappelant que les côtés d'un carré mesurent la même chose, on aura:
8deux = Lgdeux + Lgdeux
Où Lg est le côté du carré gris.
Par conséquent: 2Lgdeux = 8deux
Application de la racine carrée aux deux côtés de l'égalité:
Lg = (8 / √2) cm
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