UNE un nombre parfait est un nombre naturel tel que la somme de ses diviseurs est la même que le nombre. Evidemment, le nombre lui-même ne peut pas être compris entre les diviseurs.
L'un des exemples les plus simples d'un nombre parfait est 6, puisque ses diviseurs sont: 1, 2 et 3. Si nous additionnons les diviseurs, nous obtenons: 1 + 2 + 3 = 6.
La somme des diviseurs d'un entier, sans compter le nombre lui-même, est appelée aliquote. Par conséquent, un nombre parfait est égal à son aliquote.
Mais si le nombre lui-même est inclus dans la somme des diviseurs d'un nombre, alors un nombre parfait sera celui dont la somme de tous ses diviseurs divisée par 2 est égale au nombre lui-même..
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Les mathématiciens de l'Antiquité, en particulier les Grecs, attachaient une grande importance aux nombres parfaits et leur attribuaient des qualités divines..
Par exemple, Philon d'Alexandrie, vers le premier siècle, a affirmé que 6 et 28 sont des nombres parfaits qui coïncident avec les six jours de la création du monde et les vingt-huit jours qu'il faut à la Lune pour faire le tour de la Terre..
Des nombres parfaits sont également présents dans la nature, par exemple au pôle nord de Saturne le nombre parfait 6 apparaît également, un vortex en forme d'hexagone trouvé par la sonde Cassini et qui a intrigué les scientifiques..
Les nids d'abeilles des abeilles ont des cellules de forme hexagonale, c'est-à-dire à 6 côtés. Il a été montré que le polygone avec le nombre parfait 6 est celui qui permet de maximiser le nombre de cellules dans la ruche, avec le minimum de cire pour son élaboration..
La somme de tous les diviseurs d'un entier naturel n est notée σ (n). Dans un nombre parfait, on vérifie que: σ (n) = 2n.
Euclide a découvert une formule et un critère permettant de trouver les nombres parfaits. Cette formule est:
deux(n-1) (deuxn -1)
Cependant, le nombre généré par la formule ne sera parfait que lorsque le facteur (2n -1) être cousin.
Voyons comment les premiers nombres parfaits sont générés:
Si n = 2 alors nous nous retrouvons avec 21 (deuxdeux - 1) = 2 x 3 = 6 que nous avons déjà vu est parfait.
Quand n = 3 nous avons 2deux (deux3 - 1) = 4 x 7 = 28 qui est également parfait comme vérifié en détail dans l'exemple 1.
Voyons ce qui se passe avec n = 4. Lors de la substitution dans la formule d'Euclide, nous avons:
deux3 (deux4 - 1) = 8 x 15 = 120
On peut vérifier que ce nombre n'est pas parfait, comme le montre en détail l'exemple 3. Cela ne contredit pas le critère d'Euclide, puisque 15 n'est pas un nombre premier, condition nécessaire pour que le résultat soit un nombre parfait.
Voyons maintenant ce qui se passe lorsque n = 5. En appliquant la formule que nous avons:
deux4 (deux5 - 1) = 16 x 31 = 496
Puisque 31 est un nombre premier, alors le nombre 496 doit être parfait, selon les critères d'Euclide. Dans l'exemple 4, il est montré en détail qu'il s'agit bien.
Nombres premiers qui ont la forme 2p - 1 sont appelés cousins Mersenne, du nom du moine Marin Mersenne, qui a étudié les nombres premiers et les nombres parfaits au XVIIe siècle..
Plus tard au 18ème siècle, Leonhard Euler a montré que tous les nombres parfaits générés par la formule d'Euclide sont pairs.
À ce jour, aucun parfait n'a été trouvé qui soit étrange.
À ce jour, 51 nombres parfaits sont connus, tous générés par la formule et le critère d'Euclide. Ce nombre a été obtenu une fois que le plus grand cousin de Mersenne a été trouvé, qui est: (282589933 - 1).
Le nombre parfait # 51 est (282589933) x (282589933 - 1) et contient 49724095 chiffres.
En théorie des nombres, on dit que deux nombres sont amis lorsque la somme des diviseurs de l'un, sans compter le nombre lui-même, est égale à l'autre nombre et vice versa.
Le lecteur peut vérifier que la somme des diviseurs de 220, 220 non compris, est de 284. Par contre, la somme des diviseurs de 284, 284 non compris, est égale à 220. Par conséquent, la paire de nombres 220 et 284 sont copains.
De ce point de vue, un nombre parfait est ami avec lui-même..
Les huit premiers nombres parfaits sont énumérés ci-dessous:
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
Dans les exercices suivants, il sera nécessaire de calculer les diviseurs d'un nombre, pour ensuite les additionner et vérifier si le nombre est un nombre parfait ou non..
Par conséquent, avant d'aborder les exercices, nous passerons en revue le concept et montrerons comment ils sont calculés..
Pour commencer, vous devez vous rappeler que les nombres peuvent être premiers (lorsqu'ils ne peuvent être divisés exactement qu'avec lui-même et 1) ou composites (lorsqu'ils peuvent être décomposés en produit de nombres premiers).
Pour un nombre composé N on a:
N = an . bm. cp ... rk
Où a, b, c… r sont des nombres premiers et n, m, p… k sont des exposants appartenant aux nombres naturels, qui peuvent être à partir de 1.
En termes de ces exposants, il existe une formule pour savoir combien de diviseurs le nombre N a, bien qu'elle ne nous dise pas quels sont ces derniers. Soit C cette quantité, alors:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
Décomposer le nombre N en produit de nombres premiers et savoir combien de diviseurs il comporte, à la fois premiers et non premiers, nous aidera à déterminer quels sont ces diviseurs..
Une fois que vous les avez tous, sauf le dernier qui n'est pas requis dans la somme, vous pouvez vérifier s'il s'agit d'un nombre parfait ou non.
Vérifiez que le nombre 28 est parfait.
La première chose sera de décomposer le nombre en ses facteurs premiers.
28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1
Ses diviseurs sont: 1, 2, 4, 7, 14 et 28. Si l'on exclut 28, la somme des diviseurs donne:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28
Donc 28 est un nombre parfait.
De plus, la somme de tous ses diviseurs est 28 + 28 donc la règle σ (28) = 2 x 28 est remplie.
Décider si le nombre 38 est parfait ou non.
Le nombre est décomposé en ses facteurs premiers:
39 | 3
13 | 13
01 | 1
Les diviseurs de 39 sans compter le nombre lui-même sont: 1, 3 et 13. La somme 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 n'est pas égale à 39, donc 39 est un nombre imparfait ou non parfait.
Découvrez si le numéro 120 est parfait ou imparfait.
Nous procédons à la décomposition du nombre en ses facteurs premiers:
120 | 2
060 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 | 1
A partir des facteurs premiers, nous procédons à la recherche des diviseurs:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 et 120
Si 120 était parfait, l'addition de tous ses diviseurs devrait donner 2 x 120 = 240.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360
Ce résultat est clairement différent de 240, on en conclut donc que le nombre 120 n'est pas un nombre parfait..
Vérifiez que le nombre 496, obtenu par le critère d'Euclide, est un nombre parfait.
Le nombre 496 est décomposé en ses facteurs premiers:
496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1
Ses diviseurs sont donc:
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496
Maintenant, tous sont ajoutés, sauf 496:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
Confirmant qu'il s'agit bien d'un nombre parfait.
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