Ongle permutation sans répétition de n éléments sont les différents groupes d'éléments différents qui peuvent être obtenus en ne répétant aucun élément, en faisant seulement varier l'ordre de placement des éléments.
Pour connaître le nombre de permutations sans répétition, la formule suivante est utilisée:
Pn = n!
Lequel élargi serait Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).
Ainsi, dans l'exemple pratique précédent, il serait appliqué comme suit:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 numéros à 4 chiffres différents.
Il s'agit des 24 tableaux au total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.
Comme on peut le voir, il n'y a en aucun cas de répétition, étant 24 numéros différents.
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Nous allons analyser plus spécifiquement l'exemple des 24 arrangements à 4 chiffres différents qui peuvent être formés avec les chiffres du nombre 2468. Le nombre d'arrangements (24) peut être connu comme suit:
Vous avez 4 options pour sélectionner le premier chiffre, cela laisse 3 options pour sélectionner le second. Deux chiffres ont déjà été définis et il reste 2 options pour sélectionner le troisième chiffre. Le dernier chiffre n'a qu'une seule option de sélection.
Par conséquent, le nombre de permutations, noté P4, est obtenu par le produit des options de sélection dans chaque position:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 numéros à 4 chiffres différents
En général, le nombre de permutations ou d'arrangements distincts qui peuvent être effectués avec tous les n éléments d'un ensemble donné est:
Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)
L'expression n! est appelé factoriel n et signifie le produit de tous les nombres naturels compris entre le nombre n et le nombre un, y compris les deux.
Supposons maintenant que vous souhaitiez connaître le nombre de permutations ou de nombres à deux chiffres qui peuvent être formés avec les chiffres du nombre 2468.
Ce serait 12 arrangements au total: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86
Vous avez 4 options pour sélectionner le premier chiffre, qui laisse 3 chiffres pour sélectionner le second. Par conséquent, le nombre de permutations des 4 chiffres pris deux à deux, noté 4P2, est obtenu par le produit des options de sélection dans chaque position:
4P2 = 4 * 3 = 12 numéros à 2 chiffres différents
En général, le nombre de permutations ou d'arrangements distincts qui peuvent être effectués avec r éléments des n au total dans un ensemble donné est:
nPr = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)]
L'expression ci-dessus est tronquée avant de lire n!. Pour terminer n! à partir de là, nous devrions écrire:
n! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)… (2) (1)
Les facteurs que nous ajoutons, à leur tour, représentent une factorielle:
(n - r)… (2) (1) = (n - r)!
Donc,
n! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] (n - r)!
D'ici
n! / (n - r)! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] = nPr
Combien de combinaisons différentes de lettres de 5 lettres peuvent être construites avec les lettres du mot KEY??
Nous voulons trouver le nombre de combinaisons de lettres de 5 lettres différentes qui peuvent être construites avec les 5 lettres du mot KEY; c'est-à-dire le nombre de tableaux de 5 lettres impliquant toutes les lettres disponibles dans le mot KEY.
Nombre de mots de 5 lettres = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 combinaisons différentes de 5 lettres.
Ceux-ci seraient: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... jusqu'à 120 combinaisons de lettres différentes au total.
Vous avez 15 balles numérotées et vous voulez savoir combien de groupes différents de 3 balles peuvent être construits avec les 15 balles numérotées?
Vous voulez trouver le nombre de groupes de 3 boules qui peuvent être faites avec les 15 boules numérotées.
N ° de groupes de 3 balles = 15P3 = 15! / (15-3)!
N ° de groupes de 3 balles = 15 * 14 * 13 = 2730 groupes de 3 balles
Un magasin de fruits a un stand d'exposition qui se compose d'une rangée de compartiments situés dans le hall d'entrée des locaux. En une journée, le maraîcher acquiert pour la vente: oranges, bananes, ananas, poires et pommes.
a) De combien de manières différentes avez-vous pour commander le stand d'exposition?
b) De combien de façons différentes devez-vous commander le stand si, en plus des fruits susmentionnés (5), vous avez reçu ce jour-là: mangues, pêches, fraises et raisins (4)?
a) Nous voulons trouver le nombre de façons différentes de commander tous les fruits dans la rangée d'affichage; c'est-à-dire le nombre d'arrangements de 5 articles de fruits qui impliquent tous les fruits disponibles à la vente ce jour-là.
N ° de dispositions de stand = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
N ° de dispositions de stand = 120 façons de présenter le stand
b) Nous voulons trouver le nombre de façons différentes de commander tous les fruits dans la rangée d'affichage si 4 articles supplémentaires ont été ajoutés; c'est-à-dire le nombre d'arrangements de 9 articles de fruits qui impliquent tous les fruits disponibles à la vente ce jour-là.
N ° de disposition des stands = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
N ° de dispositions de stand = 362880 façons de présenter le stand
Un petit magasin d'alimentation dispose d'un terrain avec suffisamment d'espace pour garer 6 véhicules.
a) Combien de façons différentes de commander les véhicules sur la parcelle de terrain peuvent être sélectionnées?
b) Supposons qu'une parcelle de terrain contiguë soit acquise dont les dimensions permettent de garer 10 véhicules, combien de façons différentes de commander les véhicules peuvent être sélectionnées maintenant?
a) Nous voulons trouver le nombre de façons différentes de commander dans la parcelle les 6 véhicules qui peuvent être logés.
N ° de dispositions des 6 véhicules = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
N ° de dispositions des 6 véhicules = 720 façons différentes de commander les 6 véhicules dans le terrain.
b) Nous voulons trouver le nombre de façons différentes de commander dans la parcelle de terrain les 10 véhicules qui peuvent être logés après l'agrandissement de la parcelle de terrain.
N ° de dispositions des 10 véhicules = P10 = 10!
Nombre d'arrangements de véhicules = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
N ° de disposition des 10 véhicules = 3628800 façons différentes de commander les 10 véhicules sur le terrain.
Un fleuriste a des fleurs de 6 couleurs différentes pour fabriquer des drapeaux floraux de nations qui n'ont que 3 couleurs. Si l'on sait que l'ordre des couleurs est important dans les drapeaux,
a) Combien de drapeaux différents de 3 couleurs peuvent être fabriqués avec les 6 couleurs disponibles?
b) Le vendeur achète des fleurs de 2 couleurs supplémentaires aux 6 qu'il avait déjà, maintenant combien de drapeaux différents de 3 couleurs peuvent être fabriqués?
c) Puisque vous avez 8 couleurs, vous décidez d'élargir votre offre de drapeaux, combien de drapeaux différents de 4 couleurs pouvez-vous faire?
d) Combien de 2 couleurs?
a) Nous voulons trouver le nombre de drapeaux différents de 3 couleurs qui peuvent être réalisés en sélectionnant parmi les 6 couleurs disponibles.
N ° de drapeaux 3 couleurs = 6P3 = 6! / (6-3)!
Nombre de drapeaux 3 couleurs = 6 * 5 * 4 = 120 drapeaux
b) Vous voulez trouver le nombre de drapeaux différents de 3 couleurs qui peuvent être réalisés en sélectionnant parmi les 8 couleurs disponibles.
N ° de drapeaux 3 couleurs = 8P3 = 8! / (8 - 3)!
N ° de drapeaux 3 couleurs = 8 * 7 * 6 = 336 drapeaux
c) Le nombre de drapeaux 4 couleurs différents qui peuvent être fabriqués en sélectionnant parmi les 8 couleurs disponibles doit être calculé.
N ° de drapeaux 4 couleurs = 8P4 = 8! / (8 - 4)!
Nombre de drapeaux 4 couleurs = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 drapeaux
d) Vous souhaitez déterminer le nombre de drapeaux différents de 2 couleurs qui peuvent être réalisés en sélectionnant parmi les 8 couleurs disponibles.
Nombre de drapeaux bicolores = 8P2 = 8! / (8 - 2)!
Nombre de drapeaux bicolores = 8 * 7 = 56 drapeaux
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