Deux points A et A 'ont symétrie centrale par rapport à un point O lorsque le segment AA 'le traverse et est également le point médian de AA'. Le point O est appelé centre de symétrie.
Le symétrique central d'un triangle ABC par rapport à un point O, est un autre triangle A'B'C 'qui présente les caractéristiques suivantes:
-Les segments homologues sont de longueur égale
-Leurs angles correspondants ont la même mesure.
Sur la figure 1, vous pouvez voir un triangle ABC (rouge) et sa symétrie centrale A'B'C '(vert), par rapport au centre de symétrie O.
Sur cette même figure, un observateur attentif se rendrait compte que le même résultat est obtenu en appliquant une rotation du triangle d'origine, tant qu'il est de 180 ° et centré en O.
Par conséquent, une symétrie centrale équivaut à un virage de 180 ° par rapport au centre de symétrie.
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Une symétrie centrale a les propriétés suivantes:
-Le centre de symétrie est le milieu du segment qui rejoint un point avec sa symétrie.
-Un point symétrique d'un autre situé au centre de symétrie coïncide avec le centre de symétrie.
-Le symétrique central d'un triangle est un triangle congruent (égal) à l'original.
-L'image par symétrie centrale d'un cercle est un autre cercle de rayon égal.
-Un cercle a une symétrie centrale autour de son propre centre.
-L'ellipse a une symétrie centrale autour de son centre.
-Un segment a une symétrie centrale autour de son point médian.
-Le triangle équilatéral n'a pas de symétrie centrale par rapport à son centre, car sa symétrie, bien que congruente au premier, donne un triangle équilatéral en rotation.
-Les carrés ont une symétrie centrale autour de leur centre.
-Un pentagone manque de symétrie centrale par rapport à son centre.
-Les polygones réguliers ont une symétrie centrale lorsqu'ils ont un nombre pair de côtés.
Les critères de symétrie ont de nombreuses applications en science et en ingénierie. La symétrie centrale est présente dans la nature, par exemple les cristaux de glace et les toiles d'araignée ont ce type de symétrie.
En outre, de nombreux problèmes sont facilement résolus lorsque l'existence d'une symétrie centrale et d'autres types de symétrie est mise à profit. Par conséquent, il est pratique d'identifier rapidement le moment où cela se produit.
Étant donné un point P de coordonnées (a, b), il faut trouver les coordonnées de son symétrique P 'par rapport à l'origine O des coordonnées (0, 0).
La première chose est de construire le point P ', pour lequel on trace une ligne passant par l'origine O et par le point P. L'équation de ladite droite est y = (b / a) x.
Appelons maintenant (a ', b') les coordonnées du point symétrique P '. Le point P 'doit se trouver sur la ligne qui passe par O et il est donc vrai: b' = (b / a) a '. De plus, la distance OP doit être égale à OP ', qui sous forme analytique s'écrit comme ceci:
√ (àdeux + bdeux) = √ (a 'deux + b 'deux )
Ce qui suit consiste à remplacer b '= [(b / a) .a'] dans l'expression ci-dessus et à mettre au carré les deux côtés de l'égalité pour éliminer la racine carrée: (adeux + bdeux) = [a 'deux + (bdeux/àdeux).à'deux]
En extrayant le facteur commun et en simplifiant, nous obtenons qu'un 'deux = adeux. Cette équation a deux solutions réelles: a '= + a ou a' = -a.
Pour obtenir b ', nous utilisons à nouveau b' = (b / a) a '. Si la solution positive de a 'est substituée, nous arrivons à ce que b' = b. Et quand la solution négative est substituée, alors b '= -b.
La solution positive donne pour P 'le même point P, donc il est écarté. La solution négative donne définitivement les coordonnées du point symétrique:
P ': (-a, -b)
Il est nécessaire de montrer qu'un segment AB et son centre symétrique A'B 'ont la même longueur.
En commençant par les coordonnées du point A, qui sont (Ax, Ay) et celles du point B: (Bx, By), la longueur du segment AB est donnée par:
d (AB) = √ ((Bx - Ax)deux + (Par - Ay)deux )
Par analogie, le segment symétrique A'B 'aura une longueur donnée par:
d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ')deux + (Par '- Ay')deux )
Les coordonnées du point symétrique A 'sont Ax' = -Ax et Ay '= -Ay. De même, ceux de B 'sont Bx' = -Bx et By '= -By. Si ces coordonnées sont substituées dans l'équation de la distance d (A'B ') on a:
d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax)deux + (-Par + Oui)deux) qui équivaut à:
√ ((Bx - Hache)deux + (Par - Ay)deux) = d (AB)
Ainsi étant montré que les deux segments ont la même longueur.
Montrer analytiquement que le O symétrique central d'un cercle de rayon R et de centre O est le même cercle d'origine.
L'équation d'un cercle de rayon R et de centre O (0,0) est:
Xdeux + Ouideux = Rdeux (Équation de la circonférence C)
Si à chaque point P de la circonférence y des coordonnées (x, y) on trouve son P 'symétrique de coordonnées (x', y '), l'équation de la circonférence symétrique est:
X 'deux + Y 'deux = Rdeux (Équation du cercle symétrique C ')
On se réfère maintenant au résultat de l'exemple 1, dans lequel on conclut que les coordonnées d'un point P ', symétrique à P et de coordonnées (a, b), sont (-a, -b).
Mais dans cet exercice, le point P a des coordonnées (x, y), donc son symétrique P 'aura les coordonnées x' = -x et y '= -y. En substituant cela dans l'équation du cercle symétrique, nous avons:
(-X)deux + (-Y)deux = Rdeux
Ce qui équivaut à: xdeux+ Ouideux = Rdeux, en concluant que la symétrie centrale d'un cercle par rapport à son centre est la circonférence elle-même.
Montrez géométriquement que la symétrie centrale préserve les angles.
Il y a trois points A, B et C sur le plan. Ses symétriques A ', B' et C 'sont construites par rapport au centre de symétrie O, comme le montre la figure 4.
Il faut maintenant montrer que l'angle ∡ABC = β a la même mesure que l'angle ∡A'B'C '= β'.
Puisque C et C 'sont symétriques, alors OC = OC'. De même OB = OB 'et OA = OA'. Par contre, l'angle ∡BOC = ∡B'OC 'car ils sont opposés par le sommet.
Alors les triangles BOC et B'OC 'sont congruents car ils ont un angle égal entre deux côtés égaux.
Puisque BOC est congru à B'OC 'alors les angles γ Oui γ ' Ils sont égaux. Mais ces angles, en plus de remplir γ = γ ' sont des alternances internes entre les lignes BC et B'C 'ce qui implique que la ligne BC est parallèle à B'C'.
De même BOA est congruent à B'OA 'dont il résulte que α = α ' . Mais α Oui α ' sont des angles intérieurs alternés entre les lignes BA et B'A ', dont on conclut que la ligne BA est parallèle à B'A'.
Puisque l'angle ∡ABC = β a ses côtés parallèles à l'angle ∡A'B'C '= β' et que les deux sont également aigus, on en conclut que:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
Prouvant ainsi que la symétrie centrale conserve la mesure des angles.
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