Les systèmes d'écuation Ils se composent de deux équations ou plus avec plusieurs variables qui doivent avoir une solution commune. Ils sont fréquents, car dans la pratique, il existe de nombreuses situations qui dépendent de nombreux facteurs, qui sont liés de différentes manières.
En général, un système d'équations a la forme suivante, où chaque fonction représente l'une des conditions que la solution doit satisfaire:
Voyons un exemple: supposons que vous ayez besoin de faire des feuilles de papier rectangulaires dont la surface est de 180 cmdeux et qui ont un périmètre de 54 cm. Quelles devraient être les dimensions de la feuille?
Pour répondre à la question, nous tenons compte du fait que les dimensions d'une feuille rectangulaire sont de deux: largeur et hauteur. Cela signifie que nous avons 2 variables auxquelles nous donnerons les noms habituels de X et Oui.
Et ces variables doivent satisfaire les deux conditions imposées en même temps:
-Première condition: la surface de la feuille est de 180 cmdeux. Ce sera la première fonction: F1.
-Deuxième condition: le périmètre ou le contour de la feuille doit être de 54 cm. C'est la deuxième fonction Fdeux.
Pour chaque condition, une équation est établie en utilisant un langage algébrique. La zone A d'une feuille rectangulaire est obtenue en multipliant la largeur par la hauteur:
A = x.y = 180 cmdeux
Et le périmètre P résulte de l'ajout des côtés. Puisque le périmètre est la somme des côtés:
P = 2x + 2y = 54 cm
Le système résultant de deux équations et de deux inconnues est:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Nous avons besoin de deux nombres dont le produit est 180 et le double produit de leur somme est 54, ou ce qui est le même: additionnés, ils doivent donner 27. Ces nombres sont 12 et 15.
Dans la section des exercices résolus, nous proposerons la méthode détaillée pour trouver ces valeurs, tandis que le lecteur peut facilement vérifier en les substituant, qu'elles satisfont effectivement les deux équations.
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La situation proposée ci-dessus contient 2 variables, et au moins 2 équations sont nécessaires pour les trouver. Il existe des systèmes avec beaucoup plus de variables, mais dans tous les cas, si le système a n d'entre eux, il faut au moins n équations indépendantes les unes des autres (l'une ne peut être une combinaison linéaire des autres) pour trouver la solution, si elle existe.
Quant aux applications, elles sont nombreuses. En voici quelques-uns dans lesquels les systèmes d'équations prouvent leur utilité:
-Trouver les courants qui traversent un circuit en utilisant les lois de Kirchoff.
-En transport terrestre et aérien pour établir les heures de départ et d'arrivée.
-Trouvez les amplitudes des forces dans les systèmes dynamiques ou statiques soumis à de multiples interactions.
-Connaître la quantité d'articles vendus pendant une certaine période de temps, ou en usine, déterminer les dimensions des objets afin qu'ils satisfassent à certaines conditions en termes de surface ou de volume.
-Lors de la détermination de la répartition d'un capital dans divers investissements.
-Établir les tarifs des différents services, par exemple les télécommunications ou les spectacles et connaître le montant d'argent collecté (voir exemple résolu 2)
-Une équation est choisie et l'une des variables est résolue.
-Ensuite, nous devons remplacer la variable effacée dans une autre équation. Puis cette variable disparaît de là et si le système a deux équations et deux inconnues, il reste une équation avec une variable qui peut déjà être résolue.
-Si le système a plus de deux variables, nous devons résoudre une troisième inconnue à partir d'une autre équation et la remplacer également.
Un exemple d'application de cette méthode se trouve dans l'exercice résolu 1.
Cette méthode consiste à ajouter ou soustraire des équations pour éliminer une ou plusieurs variables et n'en laisser qu'une. Pour ce faire, il est pratique de multiplier les équations par un facteur tel que lors de l'ajout avec une autre équation, l'inconnu disparaît. Voyons un exemple:
3xdeux - Ouideux = 11
Xdeux + 4 ansdeux = 8
Nous multiplions la première équation par 4:
12xdeux - 4 ansdeux = 44
Xdeux + 4 ansdeux = 8
En les ajoutant, l'inconnu disparaît Oui, restant:
13xdeux = 52
Xdeux = 4
Par conséquent x1 = 2 et xdeux = -2. Avec ces valeurs, le lecteur peut vérifier que et1 = 1 et ydeux = -1
Lorsque le système est composé de deux équations avec deux inconnues:
-Choisissez une inconnue et résolvez les deux équations.
-Les résultats sont égalisés, ce qui permet d'obtenir une seule équation avec une seule inconnue.
-Cette équation est résolue et le résultat est substitué dans l'un des jeux précédents pour obtenir la valeur de l'autre inconnue..
Cette méthode sera appliquée dans l'exercice résolu 2 de la section suivante.
Cette méthode consiste à représenter graphiquement les courbes que chaque équation représente. Le point d'intersection est la solution du système. L'exemple suivant montre la solution graphique du système:
Xdeux + Oui deux = 1
2x + 4y = 0
La première des équations est un cercle de rayon 1 centré à l'origine et la seconde est une ligne.
L'intersection des deux sont les deux points indiqués en bleu. Le lecteur peut vérifier qu'en substituant les coordonnées des points dans les équations ci-dessus, une égalité est obtenue.
Vous devez faire des feuilles de papier rectangulaires d'une superficie de 180 cmdeux et avec un périmètre de 54 cm. Quelles devraient être les dimensions de la feuille?
Le système à résoudre est:
xy = 180
2 (x + y) = 54
La deuxième équation peut être simplifiée à x + y = 27, donc:
xy = 180
x + y = 27
Résolvez l'une des inconnues de la deuxième équation:
y = 27 - x
Le jeu est remplacé dans le premier:
(27 -x) = 180
Application de la propriété distributive:
-Xdeux + 27x = 180
Multiplier par (-1) des deux côtés de l'équation et envoyer le 180 vers le côté gauche:
Xdeux - 27x +180 = 0
Le résultat est une équation du deuxième degré en x, qui est résolue par la formule:
Avec a = 1, b = -27 et c = 180
Un parc d'attractions a les frais d'entrée suivants: enfants 1,5 $ et adultes 4 $. En une journée, il y a eu 2 200 visiteurs, amassant 5050 $. Trouvez le nombre d'enfants et d'adultes qui ont visité le parc ce jour-là.
Être X le nombre d'enfants et Oui le nombre d'adultes. Nous pouvons établir la première des équations sachant que la somme des deux doit être de 2200:
x + y = 2200.
Maintenant, nous allons avec l'argent récolté. Le prix du billet enfant est de 1,5 $ pour chaque enfant, en multipliant cette valeur par x, le nombre d'enfants, nous aurons le montant du billet enfant:
1,5x = argent amassé pour les billets pour enfants
Et si nous multiplions 4 $ par adulte par le nombre et le nombre de visiteurs adultes, nous obtenons le montant total pour tous les adultes:
4 ans = argent récolté par les billets adultes
Nous ajoutons cela ensemble pour obtenir 5050 $:
1,5x + 4y = 5050
Notre système d'équations est:
x + y = 2200
1,5x + 4y = 5050
Résolvons-le par égalisation. Nous isolons la variable y de la première et de la deuxième équation:
y = 2200 - x
y = (5050 - 1,5 x) / 4
Nous faisons correspondre les deux expressions:
2200 - x = (5050 - 1,5x) / 4
Nous multiplions tout par 4 pour éliminer la fraction:
8800 - 4x = 5050 - 1,5x
Nous regroupons les termes avec x à gauche et les nombres purs à droite:
-4x + 1,5x = 5050 à 8800
-2,5x = -3750
x = 1500 enfants.
Nous substituons cette valeur en y = 2200 - x pour trouver le nombre d'adultes:
y = 2200 - 1500 = 700 adultes.
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