le Théorème d'Euclide démontre les propriétés d'un triangle rectangle en traçant une ligne qui le divise en deux nouveaux triangles rectangles similaires l'un à l'autre et, à leur tour, similaires au triangle d'origine; alors, il y a une relation de proportionnalité.
Euclide était l'un des plus grands mathématiciens et géomètres de l'Antiquité qui a effectué plusieurs preuves de théorèmes importants. L'un des principaux est celui qui porte son nom, qui a eu une large application.
Cela a été le cas car, à travers ce théorème, il explique de manière simple les relations géométriques existant dans le triangle rectangle, où les jambes de celui-ci sont liées à leurs projections dans l'hypoténuse..
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Le théorème d'Euclide propose que dans chaque triangle rectangle, lorsqu'une ligne est dessinée - qui représente la hauteur qui correspond au sommet de l'angle droit par rapport à l'hypoténuse - deux triangles rectangles sont formés à partir de l'original.
Ces triangles seront similaires les uns aux autres et seront également similaires au triangle d'origine, ce qui signifie que leurs côtés similaires sont proportionnels les uns aux autres:
Les angles des trois triangles sont congruents; c'est-à-dire que lorsqu'ils sont tournés de 180 degrés autour de leur sommet, un angle coïncide avec l'autre. Cela implique qu'ils seront tous les mêmes.
De cette manière, la similitude qui existe entre les trois triangles peut également être vérifiée, par l'égalité de leurs angles. A partir de la similitude des triangles, Euclide en établit les proportions à partir de deux théorèmes:
- Théorème de hauteur.
- Théorème de jambe.
Ce théorème a une large application. Dans les temps anciens, il était utilisé pour calculer des hauteurs ou des distances, ce qui représentait une grande avancée pour la trigonométrie.
Il est actuellement appliqué dans divers domaines basés sur les mathématiques, tels que l'ingénierie, la physique, la chimie et l'astronomie, parmi de nombreux autres domaines..
Dans ce théorème, il est établi que dans tout triangle rectangle, la hauteur tirée de l'angle droit par rapport à l'hypoténuse est la moyenne proportionnelle géométrique (le carré de la hauteur) entre les projections des jambes qu'elle détermine sur l'hypoténuse.
Autrement dit, le carré de la hauteur sera égal à la multiplication des jambes projetées qui forment l'hypoténuse:
hcdeux = m * n
Étant donné un triangle ABC, qui est juste au sommet C, le traçage de la hauteur génère deux triangles rectangles similaires, ADC et BCD; par conséquent, leurs côtés correspondants sont proportionnels:
De telle manière que la hauteur hc qui correspond au segment CD, correspond à l'hypoténuse AB = c, on a donc:
À son tour, cela correspond à:
Résolution de l'hypoténuse (hc), pour multiplier les deux membres de l'égalité, il faut:
hc * hc = m * n
hcdeux = m * n
Ainsi, la valeur de l'hypoténuse est donnée par:
Dans ce théorème, il est établi que, dans chaque triangle rectangle, la mesure de chaque jambe sera la moyenne proportionnelle géométrique (le carré de chaque jambe) entre la mesure de l'hypoténuse (complète) et la projection de chacune sur elle:
bdeux = c * m
àdeux = c* n
Étant donné un triangle ABC, qui est juste au sommet C, de telle manière que son hypoténuse est c, lors du traçage de la hauteur (h), les projections des jambes a et b sont déterminées, qui sont les segments m et n respectivement, et qui reposent sur l'hypoténuse.
Ainsi, nous avons que la hauteur dessinée sur le triangle rectangle ABC génère deux triangles rectangles similaires, ADC et BCD, de sorte que les côtés correspondants sont proportionnels, comme ceci:
DB = n, qui est la projection de la jambe CB sur l'hypoténuse.
AD = m, qui est la projection de la jambe AC sur l'hypoténuse.
Ensuite, l'hypoténuse c est déterminée par la somme des jambes de ses projections:
c = m + n
En raison de la similitude des triangles ADC et BCD, nous avons:
Ce qui précède est le même que:
En résolvant la jambe «a» pour multiplier les deux membres de l'égalité, nous avons:
à * a = c * n
àdeux = c * n
Ainsi, la valeur de la jambe "a" est donnée par:
De la même manière, en raison de la similitude des triangles ACB et ADC, nous avons:
Ce qui précède est égal à:
En résolvant la jambe "b" pour multiplier les deux membres de l'égalité, nous avons:
b * b = c * m
bdeux = c * m
Ainsi, la valeur de la jambe "b" est donnée par:
Les théorèmes en référence à la hauteur et aux jambes sont liés les uns aux autres car la mesure des deux se fait par rapport à l'hypoténuse du triangle rectangle.
Grâce à la relation des théorèmes d'Euclide, la valeur de la hauteur peut également être trouvée; cela est possible en résolvant les valeurs de m et n à partir du théorème de jambe et elles sont remplacées dans le théorème de hauteur. De cette façon, il est convaincu que la hauteur est égale à la multiplication des jambes, divisée par l'hypoténuse:
bdeux = c * m
m = bdeux ÷ c
àdeux = c * n
n = adeux ÷ c
Dans le théorème de hauteur, nous remplaçons m et n:
hcdeux = m * n
hcdeux = (bdeux ÷ c) * (àdeux ÷ c)
hc = (bdeux * àdeux) ÷ c
Étant donné le triangle ABC, à droite en A, déterminez la mesure de AC et AD, si AB = 30 cm et BD = 18 cm
Dans ce cas, nous avons les mesures d'une des jambes projetées (BD) et d'une des jambes du triangle d'origine (AB). De cette façon, le théorème de jambe peut être appliqué pour trouver la valeur de jambe BC.
UN Bdeux = BD * avant JC
(30)deux = 18 * avant JC
900 = 18 * avant JC
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
La valeur du CD de jambe peut être trouvée sachant que BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 à 18 = 32 cm
Il est maintenant possible de déterminer la valeur de la jambe AC, en appliquant à nouveau le théorème de la jambe:
ACdeux = CD * BD
ACdeux = 32 * cinquante
ACdeux = 160
AC = √1600 = 40 cm
Pour déterminer la valeur de la hauteur (AD), le théorème de hauteur est appliqué, car les valeurs des jambes projetées CD et BD sont connues:
UN Ddeux = 32 * 18
UN Ddeux = 576
AD = √576
AD = 24 cm
Déterminer la valeur de la hauteur (h) d'un triangle MNL, droite en N, connaissant les mesures des segments:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Nous avons la mesure d'une des jambes projetée sur l'hypoténuse (PM), ainsi que les mesures des jambes du triangle d'origine. De cette façon, le théorème de jambe peut être appliqué pour trouver la valeur de l'autre jambe projetée (LN):
NLdeux = PM * LM
(dix)deux = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Comme la valeur des jambes et de l'hypoténuse est déjà connue, à travers la relation des théorèmes de la hauteur et des jambes, la valeur de la hauteur peut être déterminée:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (bdeux * àdeux) ÷ c.
h = (10deux * 5deux) ÷ (vingt)
h = (100 * 25) ÷ (vingt)
h = 2500 ÷ vingt
h = 125 cm.
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