La transformée de Fourier discrète est une méthode numérique utilisée pour définir des échantillons se référant aux fréquences spectrales qui composent un signal. Étudiez les fonctions périodiques dans les paramètres fermés, produisant un autre signal discret.
Afin d'obtenir la transformée de Fourier discrète de N points, sur un signal discret, les 2 conditions suivantes doivent être remplies sur une séquence x [n]
x [n] = 0 n < 0 ˄ n > N - 1
Si ces conditions sont satisfaites, la transformée de Fourier discrète peut être définie comme
La transformée de Fourier discrète peut être définie comme un échantillonnage à N points de la transformée de Fourier.
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Il y a 2 points de vue à partir desquels les résultats obtenus sur une séquence x peuvent être interprétéss[n] par la transformée de Fourier discrète.
-Le premier correspond aux coefficients spectraux, déjà connus de la série de Fourier. Il est observé dans des signaux périodiques discrets, avec des échantillons coïncidant avec la séquence xs[n].
-La seconde traite du spectre d'un signal apériodique discret, avec des échantillons correspondant à la séquence xs[n].
La transformée discrète est une approximation du spectre du signal analogique d'origine. Sa phase dépend des instants d'échantillonnage, tandis que sa magnitude dépend de l'intervalle d'échantillonnage..
Les fondements algébriques de la structure constituent les bases logiques des sections suivantes.
C. Sn → C. F[Sk]; Si une séquence est multipliée par un scalaire, sa transformation le sera aussi.
Tn + Vn = F [Tk] + F [Vk]; La transformée d'une somme est égale à la somme des transformées.
F [Sn] → (1 / N) S-k; Si la transformée de Fourier discrète est recalculée en une expression déjà transformée, la même expression est obtenue, mise à l'échelle en N et inversée par rapport à l'axe vertical.
Poursuivant des objectifs similaires à ceux de la transformée de Laplace, la convolution des fonctions renvoie au produit entre leurs transformées de Fourier. La convolution s'applique également aux moments discrets et est responsable de nombreuses procédures modernes..
Xn * Rn → F [Xn] .F [Rn]; La transformée d'une convolution est égale au produit des transformées.
Xn . Rn→ F [Xn] * F [Rn]; La transformée d'un produit est égale à la convolution des transformées.
Xn-m → F [Xk] e -i (2π / N) km ; Si une séquence est retardée de m échantillons, son effet sur la transformée discrète sera une modification de l'angle défini par (2π / N) km.
Xt [-k] = X *t[k] = Xt [N - K]
W-nmN . x [n] ↔ Xt[k - m]
x [n] y [n] ↔ (1 / N) Xt[k] * Yt[k]
X [-n] ↔ Xt[-k] = X *t[k]
x * [n] ↔ X *t[-k]
Par rapport à la transformée de Fourier conventionnelle, elle présente plusieurs similitudes et différences. La transformée de Fourier convertit une séquence en une ligne continue. De cette façon, on dit que le résultat de la variable de Fourier est une fonction complexe d'une variable réelle.
La transformée de Fourier discrète, contrairement à, reçoit un signal discret et le transforme en un autre signal discret, c'est-à-dire une séquence.
Ils servent principalement à simplifier considérablement les équations, tout en transformant les expressions dérivées en éléments de puissance. Désignation d'expressions différentielles sous forme de polynômes intégrables.
Dans l'optimisation, la modulation et la modélisation des résultats, il agit comme une expression standardisée, étant une ressource fréquente pour l'ingénierie après plusieurs générations.
Ce concept mathématique a été présenté par Joseph B.Fourier en 1811, lors de l'élaboration d'un traité sur la propagation de la chaleur. Il a été rapidement adopté par diverses branches de la science et de l'ingénierie.
Il a été établi comme le principal outil de travail dans l'étude des équations à dérivées partielles, même en le comparant à la relation de travail existante entre les Transformée de Laplace et équations différentielles ordinaires.
Chaque fonction qui peut être utilisée avec une transformée de Fourier doit présenter null en dehors d'un paramètre défini.
La transformée discrète est obtenue par l'expression:
Après avoir donné une séquence discrète X [n]
L'inverse de la transformée de Fourier discrète est défini par l'expression:
Une fois la transformée discrète réalisée, elle permet de définir la séquence dans le domaine temporel X [n].
Le processus de paramétrage correspondant à la transformée de Fourier discrète réside dans le fenêtrage. Pour travailler la transformation, nous devons limiter la séquence dans le temps. Dans de nombreux cas, les signaux en question n'ont pas ces limites.
Une séquence qui ne répond pas aux critères de taille à appliquer à la transformation discrète peut être multipliée par une fonction «fenêtre» V [n], définissant le comportement de la séquence dans un paramètre contrôlé.
X [n]. V [n]
La largeur du spectre dépendra de la largeur de la fenêtre. Au fur et à mesure que la largeur de la fenêtre augmente, la transformation calculée sera plus étroite.
La transformée de Fourier discrète est un outil puissant dans l'étude des séquences discrètes.
La transformée de Fourier discrète transforme une fonction variable continue, en une transformée variable discrète.
Le problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur présente un champ d'application fréquent de la transformée de Fourier discrète. Où la fonction est générée noyau chauffant ou noyau Dirichlet, qui s'applique à l'échantillonnage de valeurs dans un paramètre défini.
La raison générale de l'application de la transformée de Fourier discrète dans cette branche est principalement due à la décomposition caractéristique d'un signal en superposition infinie de signaux plus facilement traitables.
Il peut s'agir d'une onde sonore ou d'une onde électromagnétique, la transformée de Fourier discrète l'exprime dans une superposition d'ondes simples. Cette représentation est assez fréquente en électrotechnique.
Ce sont des séries définies en termes de cosinus et de sinus. Ils servent à faciliter le travail avec les fonctions périodiques générales. Lorsqu'elles sont appliquées, elles font partie des techniques de résolution d'équations différentielles ordinaires et partielles..
Les séries de Fourier sont encore plus générales que les séries de Taylor, car elles développent des fonctions discontinues périodiques qui n'ont pas de représentation en série de Taylor..
Pour comprendre analytiquement la transformée de Fourier, il est important de passer en revue les autres façons dont la série de Fourier peut être trouvée, jusqu'à ce que nous puissions définir la série de Fourier dans sa notation complexe..
Plusieurs fois, il est nécessaire d'adapter la structure d'une série de Fourier à des fonctions périodiques dont la période est p = 2L> 0 dans l'intervalle [-L, L].
L'intervalle [-π, π] est considéré, ce qui offre des avantages en tirant parti des caractéristiques symétriques des fonctions.
Si f est pair, la série de Fourier est établie comme une série de cosinus.
Si f est impair, la série de Fourier est établie comme une série de sinus.
Si nous avons une fonction f (t), qui répond à toutes les exigences de la série de Fourier, il est possible de la désigner dans l'intervalle [-t, t] en utilisant sa notation complexe:
Concernant le calcul de la solution fondamentale, les exemples suivants sont présentés:
Équation de Laplace
Équation de chaleur
Équation de Schrödinger
Équation de vague
En revanche, voici des exemples d'application de la transformée de Fourier discrète dans le domaine de la théorie du signal:
-Problèmes d'identification du système. Établi f et g
-Problème de cohérence du signal de sortie
-Problèmes de filtrage du signal
Calculer la transformée de Fourier discrète pour la séquence suivante.
Vous pouvez définir la prise de force de x [n] comme suit:
Xt[k] = 4, -j2, 0, j2 pour k = 0, 1, 2, 3
On veut déterminer par un algorithme numérique le signal spectral défini par l'expression x (t) = e-t. Où le coefficient de demande de fréquence maximale est fm= 1 Hz. Une harmonique correspond à f = 0,3 Hz. L'erreur est limitée à moins de 5%. Calculer Fs , D et N.
Prise en compte du théorème d'échantillonnage Fs = 2fm = 2 Hz
Une résolution de fréquence de F0 = 0,1 Hz, d'où vous obtenez D = 1 / 0,1 = 10s
0,3 Hz est la fréquence correspondant à l'indice k = 3, où N = 3 × 8 = 24 échantillons. Indiquant que Fs = N / A = 24/10 = 2,4> 2
Le but étant d'obtenir la valeur la plus basse possible pour N, les valeurs suivantes peuvent être considérées comme une solution:
F0 = 0,3 Hz
D = 1 / 0,3 = 3,33 s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
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