La trajectoire en physique C'est la courbe que décrit un mobile en passant par des points successifs au cours de son déplacement. Puisqu'il peut adopter un nombre infini de variantes, il en sera de même pour les trajectoires que le mobile peut suivre.
Pour se rendre d'un endroit à un autre, une personne peut emprunter différents chemins et différentes manières: à pied à travers les trottoirs dans les rues et les avenues, ou en arrivant en voiture ou à moto sur une autoroute. Lors d'une promenade à travers la forêt, le marcheur peut suivre un chemin compliqué qui comprend des virages, monter ou descendre en niveau et même passer plusieurs fois par le même point.
Si les points traversés par le mobile suivent une ligne droite, la trajectoire sera rectiligne. C'est le chemin le plus simple, car il est unidimensionnel. La spécification de la position nécessite une seule coordonnée.
Mais le mobile peut suivre un chemin curviligne, pouvant être fermé ou ouvert. Dans ces cas, le suivi de la position nécessite deux ou trois coordonnées. Ce sont des mouvements dans le plan et dans l'espace respectivement. Cela a à voir avec des liens: conditions matérielles limitant le mouvement. Quelques exemples sont:
- Les orbites qui décrivent les planètes autour du soleil sont des trajectoires fermées en forme d'ellipse. Bien que, dans certains cas, ils puissent être approximés à une circulaire, comme dans le cas de la Terre.
- Le ballon que le gardien frappe lors d'un coup de pied de but suit une trajectoire parabolique.
- Un oiseau en vol décrit des trajectoires curvilignes dans l'espace, car en plus de se déplacer dans un avion, il peut monter ou descendre de niveau à volonté.
La trajectoire en physique peut être exprimée mathématiquement lorsque la position du mobile est connue à tout instant. Être r le vecteur de position, qui à son tour a des coordonnées X, Oui Oui z dans le cas le plus général d'un mouvement en trois dimensions. Connaître la fonction r (t) la trajectoire sera complètement déterminée.
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De manière générale, la trajectoire peut être une courbe assez compliquée, surtout si vous voulez l'exprimer mathématiquement. Pour cette raison, cela commence par les modèles les plus simples, où les mobiles voyagent en ligne droite ou dans un avion, qui peut être le sol ou tout autre convenable:
Les trajectoires les plus étudiées sont:
- Rectiligne, lorsque vous voyagez sur une ligne droite horizontale, verticale ou inclinée. Une balle lancée verticalement vers le haut suit ce chemin, ou un objet glissant sur une pente suit. Ce sont des mouvements unidimensionnels, une seule coordonnée suffit à déterminer complètement leur position..
- Parabolique, dans lequel le mobile décrit un arc de parabole. Elle est fréquente, car tout objet projeté obliquement sous l'action de la gravité (un projectile) suit cette trajectoire. Pour spécifier la position du mobile, vous devez donner deux coordonnées: X Oui Oui.
- Circulaire, se produit lorsque la particule en mouvement suit un cercle. Il est également courant dans la nature et dans la pratique quotidienne. De nombreux objets du quotidien suivent un chemin circulaire comme des pneus, des pièces de machines et des satellites en orbite, pour n'en nommer que quelques-uns..
- Elliptique, l'objet se déplace suivant une ellipse. Comme dit au début, c'est le chemin suivi par les planètes en orbite autour du soleil.
- Hyperbolique, Les objets astronomiques sous l'action d'une force centrale (gravité), peuvent suivre des trajectoires elliptiques (fermées) ou hyperboliques (ouvertes), celles-ci étant moins fréquentes que les précédentes.
- Hélicoïdal, ou mouvement en spirale, comme celui d'un oiseau montant dans un courant thermique.
- Balançoire ou pendule, le mobile décrit un arc dans les mouvements de va-et-vient.
Les trajectoires décrites dans la section précédente sont très utiles pour avoir rapidement une idée de la façon dont un objet se déplace. Dans tous les cas, il faut préciser que la trajectoire d'un mobile dépend de la localisation de l'observateur. Cela signifie que le même événement peut être vu de différentes manières, selon l'endroit où se trouve chaque personne..
Par exemple, une fille pédale à une vitesse constante et lance une balle vers le haut. Elle observe que la balle décrit un chemin rectiligne.
Cependant, pour un observateur debout sur la route qui la voit passer, la balle aura un mouvement parabolique. Pour lui, la balle était initialement lancée avec une vitesse inclinée, résultat de la vitesse ascendante de la main de la fille plus la vitesse de la bicyclette..
- Explicite, spécifiant directement la courbe ou le lieu donné par l'équation y (x)
- Implicite, dans laquelle une courbe est exprimée comme f (x, y, z) = 0
-Paramétrique, sous cette forme les coordonnées x, y et z sont données en fonction d'un paramètre généralement choisi comme temps t. Dans ce cas, la trajectoire est constituée des fonctions: x (t), et T) O z (t).
Ensuite, deux trajectoires largement étudiées en cinématique sont détaillées: la trajectoire parabolique et la trajectoire circulaire..
Un objet (le projectile) est projeté à un angle a avec l'horizontale et avec la vitesse initiale vou alors comme le montre l'image. La résistance à l'air n'est pas prise en compte. Le mouvement peut être traité comme deux mouvements indépendants et simultanés: l'un horizontal à vitesse constante et l'autre vertical sous l'action de la gravité..
x (t) = xou alors +vbœuf.t
y (t) = you alors +vHey.t -½g.tdeux
Ces équations sont équations paramétriques lancement de projectile. Comme expliqué ci-dessus, ils ont le paramètre t, quel est le temps.
Ce qui suit peut être vu dans le triangle rectangle de la figure:
vbœuf = vou alors cos θje
vHey = vou alors sen θje
La substitution de ces équations contenant l'angle de lancement dans les équations paramétriques donne les résultats:
x (t) = xou alors +vou alors cos θje.t
y (t) = you alors +vou alors. sen θje.t -½g.tdeux
L'équation explicite du chemin est trouvée en résolvant t à partir de l'équation pour x (t) et en remplaçant dans l'équation par y (t). Pour faciliter le travail algébrique, on peut supposer que l'origine (0,0) est située au point de lancement et donc xou alors = etou alors = 0.
C'est l'équation du chemin en manière explicite.
Un chemin circulaire est donné par:
(x - xou alors)deux + (et etou alors)deux = Rdeux
Ici xou alors et etou alors représente le centre du cercle décrit par le mobile et R est son rayon. P (x, y) est un point sur le chemin. À partir du triangle rectangle ombré (figure 3), on peut voir que:
x = R. cos θ
y = R. sin θ
Le paramètre, dans ce cas, est l'angle de balayage θ, appelé déplacement angulaire. Dans le cas particulier où la vitesse angulaire ω (angle balayé par unité de temps) est constante, on peut dire que:
θ = θou alors + ωt
Où θou alors est la position angulaire initiale de la particule, qui, si elle est prise égale à 0, se réduit à:
θ = ωt
Dans un tel cas, le temps revient aux équations paramétriques comme:
x = R.cos ωt
y = R. sin ωt
Les vecteurs unitaires je Oui j sont très pratiques pour écrire la fonction de position d'un objet r (t). Ils indiquent les directions sur l'axe X et sur l'axe Oui respectivement. Dans ses termes, la position d'une particule qui décrit un mouvement circulaire uniforme est:
r (t) = R.cos ωt je + R. sen ωt j
Un canon peut tirer une balle avec une vitesse de 200 m / s et un angle de 40 ° par rapport à l'horizontale. Si le lancer est sur un sol plat et que la résistance de l'air est négligée, trouvez:
a) L'équation du chemin y (x) ...
b) Équations paramétriques x (t) Oui et T).
c) La portée horizontale et le temps que dure le projectile dans l'air.
d) La hauteur à laquelle se trouve le projectile lorsque x = 12000 m
a) Pour trouver la trajectoire, les valeurs données dans l'équation y (x) de la section précédente sont substituées:
y (x) = tg 40º. X - 9,8 / (2 «400deux. cosdeux40e) Xdeux ⇒ y (x) = 0,8391 x - 0,0000522xdeux
b) Le point de lancement est choisi à l'origine du repère (0,0):
x (t) = xou alors +vbœuf.t = 400'cos 40º.t = 306,42. t.
y (t) = you alors +vHey.t -½g.tdeux= 400 'sin 40º.t - 0,5 «9,8'tdeux= 257,12 t - 4,9.tdeux
c) Pour trouver le temps que dure le projectile dans l'air, faites y (t) = 0, étant le lancement se fait sur terrain plat:
0 = 257,12.t - 4,9.tdeux
t = 257,12 / 4,9 s = 52,473 s
La portée horizontale maximale est trouvée en remplaçant cette valeur dans x (t):
Xmax = 306,42'52 0,47 m = 16077,7 m
Une autre façon de trouver xmax est directement en faisant y = 0 dans l'équation du chemin:
0 = 0,8391 xmax - 0,0000522 xdeuxmax
x = 0,8391 / 0,0000522 m = 16078,5 m
Il y a une petite différence due à l'arrondissement des décimales.
d) Pour trouver la hauteur lorsque x = 12000 m, cette valeur est directement substituée dans l'équation du chemin:
et (12000) = 0,8391«12000 - 0,0000522«12000deux m = 2552,4 m
La fonction de position d'un objet est donnée par:
r (t) = 3t je + (4 -5tdeux) j m
Trouve:
a) L'équation du chemin. Quelle courbe est?
b) La position initiale et la position lorsque t = 2 s.
c) Le déplacement effectué après t = 2 s.
a) La fonction de position a été donnée en termes de vecteurs unitaires je Oui j, qui déterminent respectivement la direction sur les axes X Oui Oui, donc:
x (t) = 3t
et T) = 4 -5tdeux
L'équation du chemin y (x) est en train de se dégager t de x (t) et en remplaçant y (t):
t = x / 3
y (x) = 4 -5. (x / 3)deux = 4 à 5xdeux/ 9 (Parabole)
b) La position de départ est: r (2) = 4 j m ; la position dans t = 2 s c'est r (2) = 6 je -16 j m
c) Déplacement rér est la soustraction des deux vecteurs de position:
Δr = r (deux) - r (2) = 6 je -16 j- 4 j = 6 je - vingt j m
La Terre a un rayon R = 6300 km et on sait que la période de rotation de son mouvement autour de son axe est d'un jour. Trouve:
a) L'équation de la trajectoire d'un point à la surface de la terre et sa fonction de position.
b) La vitesse et l'accélération de ce point.
a) La fonction de position pour tout point en orbite circulaire est:
r (t) = R.cos ωt je + R.sen ωt j
Nous avons le rayon de la Terre R, mais pas la vitesse angulaire ω, cependant il peut être calculé à partir de la période, sachant que pour le mouvement circulaire il est valable de dire que:
ω = 2π × fréquence = 2π / période
La durée du mouvement est: 1 jour = 24 heures = 1440 minutes = 86400 secondes, donc:
ω = 2π / 86400 s = 0,000023148 s-1
Remplacer dans la fonction de position:
r (t) = R.cos ωt je + R. sen ωt j = 6300 (cos 0,000023148 t je + sen 0,000023148t j) Km
Le chemin sous forme paramétrique est:
x (t) = 6300. cos 0,000023148t
y (t) = 6300. sin 0,000023148t
b) Pour le mouvement circulaire, la grandeur de la vitesse linéaire v d'un point est lié à la vitesse angulaire w à travers:
v = ωR = 0,000023148 s-1'6300 km = 0,1458 km / s = 145,8 m / s
Même être un mouvement à vitesse constante de 145,8 m / s, il y a une accélération qui pointe vers le centre de l'orbite circulaire, chargée de maintenir le point en rotation. C'est l'accélération centripète àc, donné par:
àc = vdeux / R = (145,8 m / s)deux / 6300 × dix3 m = 0,00337 m / sdeux.
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