Les triangles aigus sont ceux dont les trois angles internes sont des angles aigus; c'est-à-dire que la mesure de chacun de ces angles est inférieure à 90 ° degrés. En n'ayant aucun angle droit, nous avons que le théorème de Pythagore ne vaut pas pour cette figure géométrique.
Par conséquent, si nous voulons avoir un certain type d'informations sur l'un de ses côtés ou angles, il est nécessaire d'utiliser d'autres théorèmes qui nous permettent d'avoir accès auxdites données. Ceux que nous pouvons utiliser sont le théorème du sinus et le théorème du cosinus.
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Parmi les caractéristiques de cette figure géométrique, on peut souligner celles qui sont données par le simple fait d'être un triangle. Parmi ceux-ci, nous avons:
- Un triangle est un polygone qui a trois côtés et trois angles.
- La somme de ses trois angles internes est égale à 180 °.
- La somme de deux de ses côtés est toujours supérieure au troisième.
À titre d'exemple, regardons le triangle ABC suivant. De manière générale, on identifie ses côtés par une lettre minuscule et ses angles par une lettre majuscule, de manière à ce qu'un côté et son angle opposé aient la même lettre.
D'après les caractéristiques déjà données, nous savons que:
A + B + C = 180 °
a + b> c, a + c> b et b + c> a
La principale caractéristique qui distingue ce type de triangle du reste est que, comme nous l'avons déjà mentionné, ses angles internes sont aigus; c'est-à-dire que la mesure de chacun de ses angles est inférieure à 90 °.
Les triangles aigus, ainsi que les triangles obtus (ceux dont l'un de leurs angles a une mesure supérieure à 90 °), font partie de l'ensemble des triangles obliques. Cet ensemble est composé des triangles qui ne sont pas des angles droits.
Comme les triangles obliques font partie, nous devons être capables de résoudre des problèmes impliquant des triangles aigus, nous devons utiliser le théorème du sinus et le théorème du cosinus.
Le théorème du sinus nous dit que le rapport d'un côté au sinus de son angle opposé est égal à deux fois le rayon du cercle formé par les trois sommets dudit triangle. C'est-à-dire:
2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)
En revanche, le théorème du cosinus nous donne ces trois égalités pour tout triangle ABC:
àdeux= bdeux + cdeux -2bc * cos (A)
bdeux= adeux + cdeux -2ac * cos (B)
cdeux= adeux + bdeux -2ab * cos (C)
Ces théorèmes sont également connus comme la loi du sinus et la loi du cosinus, respectivement..
Une autre caractéristique que nous pouvons donner des triangles aigus est que deux d'entre eux sont égaux s'ils répondent à l'un des critères suivants:
- S'ils ont les trois côtés égaux.
- S'ils ont un côté et deux angles égaux l'un par rapport à l'autre.
- S'ils ont deux côtés égaux et un angle.
Nous pouvons classer les triangles aigus en fonction de leurs côtés. Ceux-ci pourraient être:
Ce sont les triangles aigus qui ont tous leurs côtés égaux et, par conséquent, tous leurs angles internes ont la même valeur, qui est A = B = C = 60 ° degrés.
A titre d'exemple, prenons le triangle suivant, dont les côtés a, b et c ont une valeur de 4.
Ces triangles, en plus d'avoir des angles internes aigus, ont la particularité d'avoir deux de leurs côtés égaux et le troisième, qui est généralement pris comme base, différent.
Un exemple de ce type de triangle peut être celui dont la base est 3 et ses deux autres côtés ont une valeur de 5. Avec ces mesures, il aurait les angles opposés aux côtés égaux avec la valeur de 72,55 ° et l'angle opposé de la base serait de 34,9 °.
Ce sont les triangles qui ont tous des côtés différents deux par deux. Par conséquent, tous ses angles, en plus d'être inférieurs à 90 °, sont différents de deux à deux.
Le triangle DEF (dont les mesures sont d = 4, e = 5 et f = 6 et ses angles sont D = 41,41 °, E = 55,79 ° et F = 82,8 °) est un bon exemple de triangle aigu scalène.
Comme nous l'avons dit précédemment, pour résoudre des problèmes impliquant des triangles aigus, il est nécessaire d'utiliser les théorèmes sinus et cosinus.
Étant donné un triangle ABC avec des angles A = 30 °, B = 70 ° et un côté a = 5cm, nous voulons connaître la valeur de l'angle C et des côtés b et c.
La première chose que nous faisons est d'utiliser le fait que la somme des angles internes d'un triangle est de 180 °, afin d'obtenir la valeur de l'angle C.
180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C
On efface C et on se retrouve avec:
C = 180 ° - 100 ° = 80 °
Puisque nous connaissons déjà les trois angles et un côté, nous pouvons utiliser le théorème du sinus pour déterminer la valeur des côtés restants. Par le théorème, nous avons:
a / sin (A) = b / sin (B) et a / sin (A) = c / (sin (C)
On isole b de l'équation et on se retrouve avec:
b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4
Il ne nous reste plus qu'à calculer la valeur de c. On procède de la même manière que dans le cas précédent:
c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84
On obtient ainsi toutes les données du triangle. Comme on peut le voir, ce triangle entre dans la catégorie du triangle aigu scalène.
Étant donné un triangle DEF de côtés d = 4cm, e = 5cm et f = 6cm, on veut connaître la valeur des angles dudit triangle.
Pour ce cas, nous utiliserons la loi du cosinus, qui nous dit que:
rédeux= edeux + Fdeux - 2efcos (D)
À partir de cette équation, nous pouvons résoudre pour cos (D), ce qui nous donne comme résultat:
Cos (D) = ((4)deux - (5)deux -(6)deux) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75
On a donc D≈ 41,41 °
En utilisant maintenant le théorème de senom, nous avons l'équation suivante:
d / (sin (D) = e / (sin (E)
En résolvant le péché (E), nous avons:
sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827
On a donc E≈55,79 °
Enfin, en utilisant que la somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180 °, nous avons que F≈82.8 °.
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