La variation linéaire se produit entre deux grandeurs physiques lorsque le graphique qui les représente est une ligne droite. Cela équivaut à affirmer que les variables sont en dépendance linéaire, de telle sorte que si on appelle l'une d'elles "y" et l'autre "x", elles seront reliées au moyen de l'expression mathématique:
y = mx + b
Dans cette formule, m et b sont des nombres réels. La valeur de m représente la pente ou l'inclinaison de la ligne -qui est toujours constante- et b est la coupe de la ligne avec l'axe vertical.
Chaque phénomène qui répond à une variation linéaire a des noms différents pour les variables, comme nous le verrons dans les exemples suivants. Cependant, la forme mathématique de l'équation est la même.
Expérimentalement, il peut être établi s'il existe une relation linéaire entre deux grandeurs, en mesurant les paires de valeurs (x, y).
Les points ainsi obtenus sont tracés sur du papier millimétré et on observe s'ils ont une tendance linéaire, c'est-à-dire s'il y a une ligne qui correspond adéquatement aux données expérimentales.
Dans un premier temps, cette ligne peut être dessinée visuellement, mais au moyen d'un régression linéaire peuvent être trouvées analytiquement, les valeurs de m et b de la droite qui correspondent le mieux aux points expérimentaux.
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Il existe de nombreux phénomènes naturels, ainsi que des relations établies entre des étalons de mesure, qui sont dus à une variation linéaire, par exemple:
La vitesse en fonction du temps v (t) d'un mobile se déplaçant le long d'une ligne avec une accélération constante a et une vitesse initiale vou alors différent de 0. Ce mouvement est connu sous le nom de mouvement rectiligne uniformément varié et l'équation de la vitesse est:
v (t) = vou alors + à
Un autre phénomène naturel dont la variation est linéaire est l'augmentation de longueur qu'une tige ou un fil subit lorsqu'il est chauffé..
En effet, lorsque la température d'un objet augmente, ses dimensions augmentent également, et cette augmentation dépend du changement de température ΔT et d'une quantité appelée coefficient de dilatation linéaire désigné par la lettre grecque α:
L = Lou alors + α ΔT
Dans cette expression, L est la longueur finale de l'objet et Lou alors est sa longueur initiale.
Un mobile avec rapidité constante se déplace toujours en ligne droite. Si la droite est l'axe horizontal x, la position x (t) à tout instant est donnée par:
x (t) = xou alors + Vermont
Où xou alors est la position initiale, v est la vitesse et t est le temps. De cette façon, on dit que la position x varie linéairement avec le temps t.
Les médecins et les anthropologues peuvent estimer la taille d'une personne en mesurant la longueur du fémur..
Plus une personne est grande, plus les jambes sont longues, il existe donc des modèles linéaires pour prédire la hauteur d'un adulte H (en pouces) si la longueur L (également en pouces) de son fémur est connue, selon l'équation:
H = 1,880⋅L + 32,010
Les échelles Celsius et Fahrenheit sont utilisées quotidiennement pour mesurer les températures. Cette dernière échelle est couramment utilisée dans les pays anglophones. Il y a une équivalence pour passer de l'un à l'autre:
F = (9/5) C + 32
Où F est la température en degrés Fahrenheit et C est la température en degrés Celsius.
La pression absolue P dans un fluide incompressible tel que l'eau, dont la densité constante est ρ, varie en fonction de la profondeur h comme:
P = Pou alors + ρgh
Où Pou alors est la pression à la surface libre du liquide. Si le liquide se trouve dans un récipient ouvert à l'atmosphère, cette pression est simplement la pression atmosphérique Pau m, pouvoir écrire alors:
P = Pau m + ρgh
La pression atmosphérique au niveau de la mer est d'environ 101 kPa. Cette relation entre P et h signifie que la pression augmente linéairement avec la profondeur..
Le coût mensuel C de la conduite d'une voiture comprend un coût mensuel fixe Cou alors plus le coût du kilométrage ou du kilométrage parcouru chaque mois. Un conducteur observe qu'au cours d'un mois donné, le coût de la conduite était de 380 $ pour 480 milles, et le mois suivant, de 460 $ pour 800 milles..
Soit d le nombre de miles parcourus par mois par le conducteur, avec les données fournies, trouvez:
a) La variation linéaire entre C et d.
b) Combien coûterait-il par mois pour conduire la voiture sur un trajet de 1500 milles?
c) Le graphique de C en fonction de d.
Supposons que les variables ont une relation donnée par:
C = Cou alors + Un d
Où A et Cou alors sont des constantes à déterminer. A est la pente de la ligne qui représente graphiquement la relation entre C et d. Co est la coupe avec l'axe vertical, le coût mensuel fixe que le conducteur doit payer pour le seul fait d'avoir la voiture à disposition. Cela pourrait inclure les frais de maintenance et les taxes, par exemple.
Pour déterminer sans équivoque une ligne, il est nécessaire de connaître sa pente. Pour cela, nous avons les points:
P1: 480 milles, 380 $
Pdeux: 800 milles, 460 $
Ces points, de coordonnées (d, C) ou (distance, coût) sont analogues aux points de coordonnées (x, y) du plan cartésien, quels changements sont les noms. La pente A de la droite est alors donnée par:
A = (Cdeux - C1) / (rédeux - ré1)
A = [(460 - 380) $ / (800 - 480) miles] = (1/4) $ / mile
La pente de la ligne représente le coût par mile, comme ceci:
C = Cou alors + A.d = Co + (1/4) .d
Pour déterminer le coût de la base Cou alors Cette équation est prise et l'un des points dont on sait lui appartenir est substitué, par exemple P1:
380 $ = Cou alors + [(1/4) $ / mile]. 480 milles → 380 $ = Cou alors + 120 $
Cou alors = 260 $
Nous pouvons maintenant formuler le modèle de variation linéaire comme suit:
C = 260 + (1/4) d
Le coût mensuel pour parcourir 1500 miles est de:
C = 260 + (1/4) x 1 500 USD = 635 USD
Le graphique de C en fonction de d est:
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