Caractéristiques et propriétés des vecteurs, éléments, types, exemples

Les vecteur Ce sont des entités mathématiques qui ont une grandeur-positive-, généralement accompagnée d'une unité de mesure, ainsi que d'une direction et d'un sens. Ces caractéristiques sont très appropriées pour décrire des grandeurs physiques telles que la vitesse, la force, l'accélération et bien d'autres..

Avec les vecteurs, il est possible d'effectuer des opérations telles que l'addition, la soustraction et les produits. La division n'est pas définie pour les vecteurs et comme pour le produit, il existe trois classes que nous décrirons plus loin: produit scalaire ou point, produit vectoriel ou croix et produit d'un scalaire par un vecteur.

Pour décrire complètement un vecteur, il est nécessaire d'indiquer toutes ses caractéristiques. La grandeur ou le module est une valeur numérique accompagnée d'une unité, tandis que la direction et la direction sont établies à l'aide d'un système de coordonnées.

Prenons un exemple: disons qu'un avion vole d'une ville à une autre à une vitesse de 850 km / h dans une direction NE. Ici, nous avons un vecteur entièrement spécifié, car la magnitude est disponible: 850 km / h, tandis que la direction et le sens sont NE.

Les vecteurs sont généralement représentés graphiquement par des segments de ligne orientés, dont la longueur est proportionnelle à la magnitude.

Alors que pour spécifier la direction et le sens, une ligne de référence est nécessaire, qui est généralement l'axe horizontal, bien que le nord puisse également être pris comme référence, c'est le cas de la vitesse de l'avion:

La figure montre le vecteur vitesse du plan, qui est noté v au audacieux, pour le distinguer d'une quantité scalaire, qui ne nécessite qu'une valeur numérique et une unité à spécifier.

Index des articles

• 1 Éléments d'un vecteur
  • 1.1 Composantes rectangulaires d'un vecteur
• 2 types
  • 2.1 Vecteurs d'unités orthogonales
• 3 Somme des vecteurs
  • 3.1 Propriétés de l'addition de vecteurs
• 4 exemples de vecteurs
• 5 Autres opérations entre vecteurs
  • 5.1 Produit d'un scalaire et d'un vecteur
  • 5.2 Produit scalaire ou produit scalaire entre vecteurs
  • 5.3 Produit croisé ou produit croisé entre vecteurs
• 6 exercices résolus
  • 6.1 - Exercice 1
  • 6.2 - Exercice 2
• 7 Références

Éléments d'un vecteur

Comme nous l'avons dit, les éléments du vecteur sont:

-Magnitude ou module, parfois également appelé valeur absolue ou norme du vecteur.

-adresse

-Sens

Dans l'exemple de la figure 2, le module v Elle est de 850 km / h. Le module est noté v sans gras, ou comme |v|, où les barres représentent la valeur absolue.

L'adresse de v est spécifié par rapport au Nord. Dans ce cas, il est à 45 ° au nord de l'est (45 ° au nord-est). Enfin, la pointe de la flèche informe sur la direction de v.

Dans cet exemple, l'origine du vecteur a été dessinée en coïncidant avec l'origine O du système de coordonnées, c'est ce qu'on appelle vecteur lié. En revanche, si l'origine du vecteur ne coïncide pas avec celle du référentiel, on dit qu'il s'agit d'un vecteur libre.

Il est à noter que pour spécifier complètement le vecteur, ces trois éléments doivent être notés, sinon la description du vecteur serait incomplète.

Composantes rectangulaires d'un vecteur

Dans l'image, nous avons notre exemple de vecteur de retour v, c'est dans l'avion xy.

Il est facile de voir que les projections de v sur les axes des coordonnées x et y déterminent un triangle rectangle. Ces projections sont v_Oui Oui v_X et sont appelés composants rectangulaires de v.

Une façon de désigner v à travers ses composants rectangulaires est comme ceci: v = X, v_Oui>. Ces parenthèses sont utilisées à la place des parenthèses pour souligner le fait qu'il s'agit d'un vecteur et non d'un point, car dans ce cas des parenthèses seraient utilisées.

Si le vecteur est dans un espace tridimensionnel, un composant supplémentaire est nécessaire, de sorte que:

v = X, v_Oui, v_z>

Connaissant les composantes rectangulaires, la magnitude du vecteur est calculée, ce qui équivaut à trouver l'hypoténuse du triangle rectangle dont les jambes sont v_X Oui v_Oui,. Au moyen du théorème de Pythagore, il s'ensuit que:

|v|^deux = (v_X)^deux +  (v_Oui)^deux

Forme polaire d'un vecteur

Lorsque la magnitude du vecteur est connue |v| et l'angle θ que cela forme avec l'axe de référence, généralement l'axe horizontal, le vecteur est également spécifié. On dit alors que le vecteur est exprimé sous forme polaire.

Les composants rectangulaires dans ce cas sont facilement calculés:

v_X = |v| .cos θ

v_Oui = |v| .sen θ

Selon ce qui précède, les composantes rectangulaires du vecteur vitesse v de l'avion serait:

v_X = 850. cos 45º km / h = 601,04 km / h

v_Oui = 850. sin 45º km / h = 601,04 km / h

Les types

Il existe plusieurs types de vecteurs. Il existe des vecteurs de vitesse, de position, de déplacement, de force, de champ électrique, d'impulsion et bien d'autres. Comme nous l'avons déjà dit, en physique, il existe un grand nombre de quantités vectorielles.

Quant aux vecteurs qui présentent certaines caractéristiques, on peut citer les types de vecteurs suivants:

-Nul: ce sont des vecteurs dont la magnitude est 0 et qui sont notés 0. Rappelez-vous que la lettre en gras symbolise les trois caractéristiques fondamentales d'un vecteur, tandis que la lettre normale ne représente que le module.

Par exemple, sur un corps en équilibre statique, la somme des forces doit être un vecteur nul.

-Libre et lié: les vecteurs libres sont ceux dont l'origine et les points d'arrivée sont n'importe quelle paire de points dans le plan ou dans l'espace, contrairement aux vecteurs liés, dont l'origine coïncide avec celle du système de référence utilisé pour les décrire.

Le couple ou moment produit par un couple de forces est un bon exemple de vecteur libre, puisque le couple ne s'applique à aucun point particulier.

-Teamlenses: ce sont deux vecteurs libres qui partagent des caractéristiques identiques. Par conséquent, ils ont une ampleur, une direction et un sens égaux.

-Coplanaire ou coplanaire: vecteurs appartenant au même plan.

-Les opposés: vecteurs de magnitude et de direction égales, mais de directions opposées. Le vecteur en face d'un vecteur v est le vecteur -v et la somme des deux est le vecteur nul: v + (-v) = 0.

-Concurrent: vecteurs dont les lignes d'action passent toutes par le même point.

-Curseurs: sont ces vecteurs dont le point d'application peut glisser le long d'une ligne particulière.

-Colinéaire: vecteurs situés sur la même ligne.

-Unitaire: ces vecteurs dont le module est 1.

Vecteurs d'unités orthogonales

Il existe un type de vecteur très utile en physique appelé vecteur d'unité orthogonale. Le vecteur d'unité orthogonale a un module égal à 1 et les unités peuvent être l'une quelconque, par exemple celles de vitesse, de position, de force ou autres.

Il existe un ensemble de vecteurs spéciaux qui aident à représenter facilement d'autres vecteurs et à effectuer des opérations sur eux: ce sont des vecteurs unitaires orthogonaux je, j Oui k, unitaires et perpendiculaires l'une à l'autre.

En deux dimensions, ces vecteurs sont dirigés le long de la direction positive à la fois de l'axe X à partir de l'axe Oui. Et en trois dimensions un vecteur unitaire est ajouté dans la direction de l'axe z positif. Ils sont représentés comme suit:

je = <1, 0,0>

j = < 0,1,0>

k = <0,0,1>

Un vecteur peut être représenté par les vecteurs unitaires je, j Oui k comme suit:

v = v_X je + v_Oui j + v_z k

Par exemple le vecteur vitesse v à partir des exemples ci-dessus peut être écrit comme suit:

v = 601,04 je + 601,04 j km / h

Le composant dans k n'est pas nécessaire, puisque ce vecteur est dans le plan.

Ajout de vecteur

La somme des vecteurs apparaît très fréquemment dans diverses situations, par exemple lorsque vous souhaitez trouver la force résultante sur un objet affecté par différentes forces. Pour commencer, supposons que nous ayons deux vecteurs libres ou alors Oui v dans l'avion, comme illustré dans la figure suivante à gauche:

Il est immédiatement déplacé soigneusement vers le vecteur v, sans modifier sa grandeur, sa direction ou son sens, de sorte que son origine coïncide avec la fin de ou alors.

Le vecteur somme est appelé w et est dessiné à partir de u se terminant par v, selon la bonne figure. Il est important de noter que la magnitude du vecteur w n'est pas nécessairement la somme des grandeurs de v Oui ou alors.

Si vous y réfléchissez bien, le seul moment où la grandeur du vecteur résultant est la somme des grandeurs des addends, c'est lorsque les deux addends sont dans la même direction et ont le même sens..

Et que se passe-t-il si les vecteurs ne sont pas libres? Il est également très facile de les ajouter. La façon de le faire consiste à ajouter un composant à un composant ou à une méthode analytique.

À titre d'exemple, considérons les vecteurs de la figure suivante, la première chose est de les exprimer de l'une des manières cartésiennes expliquées précédemment:

v = <5,1>

ou alors = <2,3>

Pour faire entrer le composant X du vecteur somme w, les composants respectifs sont ajoutés dans X de v Oui ou alors: w_X = 5 + 2 = 7. Et pour obtenir w_Oui une procédure analogue est suivie: w_Oui = 1 + 3. Donc:

ou alors = <7,4>

Propriétés de l'ajout de vecteurs

-La somme de deux vecteurs ou plus donne un autre vecteur.

-Il est commutatif, l'ordre des addends n'altère pas la somme, de telle sorte que:

ou alors + v = v + ou alors

-L'élément neutre de la somme des vecteurs est le vecteur nul: v + 0 = v

-La soustraction de deux vecteurs est définie comme la somme du contraire: v - u = v + (-ou alors)

Exemples de vecteurs

Comme nous l'avons dit, il existe de nombreuses quantités vectorielles en physique. Parmi les plus connus, on trouve:

-Positionner

-Déplacement

-Vitesse moyenne et vitesse instantanée

-Accélération

-Obliger

-Quantité de mouvement

-Couple ou moment d'une force

-Impulsion

-Champ électrique

-Champ magnétique

-Moment magnétique

En revanche, ce ne sont pas des vecteurs mais des scalaires:

-La météo

-Masse

-Température

-Le volume

-Densité

-Travail mécanique

-Énergie

-Chaud

-Pouvoir

-Tension

-Courant électrique

Autres opérations entre vecteurs

En plus de l'addition et de la soustraction de vecteurs, il existe trois autres opérations très importantes entre vecteurs, car elles donnent lieu à de nouvelles grandeurs physiques très importantes:

-Produit d'un scalaire et d'un vecteur.

-Le produit scalaire ou produit scalaire entre les vecteurs

-Et la croix ou le produit vectoriel entre deux vecteurs.

Produit d'un scalaire et d'un vecteur

Considérez la deuxième loi de Newton, qui stipule que la force F et accélération à ils sont proportionnels. La constante de proportionnalité est la masse m de l'objet, donc:

F = m.à

La masse est un scalaire; la force et l'accélération sont des vecteurs. Puisque la force est obtenue en multipliant la masse par l'accélération, elle est le résultat du produit d'un scalaire et d'un vecteur.

Ce type de produit aboutit toujours à un vecteur. Voici un autre exemple: la quantité de mouvement. Être P le vecteur d'élan, v le vecteur vitesse et comme toujours, m est la masse:

P = m.v

Produit scalaire ou produit scalaire entre les vecteurs

Nous avons placé le travail mécanique sur la liste des grandeurs qui ne sont pas des vecteurs. Cependant, le travail en physique est le résultat d'une opération entre vecteurs appelée produit scalaire, produit interne ou produit scalaire..

Que les vecteurs soient v Oui ou alors, le produit scalaire ou scalaire entre eux est défini comme:

v∙ou alors = |v| ∙ |ou alors | .cos θ

Où θ est l'angle entre les deux. De l'équation montrée, il s'ensuit immédiatement que le résultat du produit scalaire est un scalaire et aussi que si les deux vecteurs sont perpendiculaires, leur produit scalaire est 0.

Retour au travail mécanique W, c'est le produit scalaire entre le vecteur de force F et le vecteur de déplacement ℓ.

W = F∙ℓ                  

Lorsque les vecteurs sont disponibles en termes de leurs composants, le produit scalaire est également très facile à calculer. Oui v = X, v_Oui, v_z > Oui ou alors = X, ou alors_Oui, ou alors_z >, le produit scalaire entre les deux est:

v∙ou alors = v_X ou alors_X + v_Oui ou alors_Oui + v_z ou alors_z

Le produit scalaire entre vecteurs est commutatif, donc:

v∙ou alors = ou alors∙v

Produit croisé ou produit vectoriel entre vecteurs

Oui v et u sont nos deux exemples de vecteurs, le produit vectoriel est défini comme:

v X ou alors = w

Il s'ensuit immédiatement que le produit croisé aboutit à un vecteur, dont le module est défini comme:

|v X u | = | v | . | u |. sen θ

Où θ est l'angle entre les vecteurs.

Le produit croisé n'est pas commutatif, donc v X u ≠ u X v. En fait v X u = - (u X v).

Si les deux exemples de vecteurs sont exprimés en termes de vecteurs unitaires, le calcul du produit vectoriel est plus facile:

v = v_X je + v_Oui j + v_z k

ou alors = u_X je + ou alors_Oui j + ou alors_z k

Produits croisés entre vecteurs unitaires

Le produit croisé entre des vecteurs unitaires identiques est nul, car l'angle entre eux est de 0º. Mais entre différents vecteurs unitaires, l'angle entre eux est de 90 ° et sin 90 ° = 1.

Le diagramme suivant aide à trouver ces produits. Dans le sens de la flèche, il a un sens positif et dans le sens opposé, il a un sens négatif:

je X j = k, j X k = je; k X je = j; j X i = -k; k X j = -je; je X k = -j

En appliquant la propriété distributive, qui est toujours valable pour les produits entre vecteurs plus les propriétés des vecteurs unitaires, nous avons:

v X ou alors = (v_X je + v_Oui j + v_z k) x (u_X je + ou alors_Oui j + ou alors_z k) =  

= (v_Ouiou alors_z - v_zou alors_Oui )je + (v_zou alors_X - v_Xou alors_z )j + (v_Xou alors_Oui - v_Ouiou alors_X )k

Exercices résolus

- Exercice 1

Compte tenu des vecteurs:

v = -5 je + 4j + 1 k

ou alors = 2 je -3 j + 7k

Quel devrait être le vecteur w pour que la somme v + ou alors + w il s'avère 6 je +8 j -dixk?

Solution

-5 je + 4j + 1 k

deux je -3 j + 7k

 w_X je + w_Oui j + w_z k  +

--

6je + 8 j -dix k

Par conséquent, il doit être rempli que:

-5 +2 + w_X = 6 → w_X = 9

4-3 + w_Oui = 8 → w_Oui = 7

1 + 7 + w_z = -10 → w_z = -18

La réponse est: w = 9 je +7 j - 18k

- Exercice 2

Quel est l'angle entre les vecteurs v Oui ou alors de l'exercice 1?

Solution

Nous utiliserons le produit scalaire. D'après la définition, nous avons:

cos θ = v∙ou alors / |v| ∙ |ou alors|

v∙ou alors= -10 -12 + 7 = -15

|v| = √ (-5)^deux +4^deux +1^deux= √42 = 6,48

|ou alors| = √2^deux +(-3)^deux +7^deux= √62 = 7,87

En remplaçant ces valeurs:

cos θ = -15 / 6,48 x 7,87 = -0,2941 → θ = 107,1 º

Les références

1. Figueroa, D. (2005). Série: Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. Cinématique. Edité par Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Physique: principes avec applications. 6e. Salle des Prentices Ed.
3. Rex, A. 2011. Fondamentaux de la physique. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire et physique moderne. 14e. Éd. Volume 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. 7e. Éd. Cengage Learning.