le vecteur résultant est celui obtenu au moyen d'une opération avec des vecteurs dont le résultat est également un vecteur. Normalement, cette opération est la somme de deux vecteurs ou plus, au moyen de laquelle on obtient un vecteur dont l'effet est équivalent.
De cette manière, des vecteurs tels que la vitesse, l'accélération ou la force résultantes sont obtenus. Par exemple, lorsque plusieurs forces agissent sur un corps F1, Fdeux, F3,…. la somme vectorielle de toutes ces forces est équivalente à la force nette (la résultante), qui est mathématiquement exprimée comme suit:
F1 + Fdeux + F3 +… = FR ou alors FN
Le vecteur résultant, qu'il s'agisse de forces ou de toute autre grandeur de vecteur, est trouvé en appliquant les règles d'addition de vecteurs. Comme les vecteurs ont une direction et un sens en plus de la valeur numérique, il ne suffit pas d'ajouter les modules pour avoir le vecteur résultant.
Ceci n'est vrai que dans le cas où les vecteurs impliqués sont dans le même sens (voir exemples). Sinon, il est nécessaire d'utiliser des méthodes de somme vectorielle qui, selon le cas, peuvent être géométriques ou analytiques..
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Les méthodes géométriques pour trouver le vecteur résultant sont la méthode polygonale et la méthode du parallélogramme.
Quant aux méthodes analytiques, il y a la méthode des composants, par laquelle le vecteur résultant de tout système de vecteurs peut être trouvé, à condition que nous ayons ses composantes cartésiennes..
Supposons que les vecteurs ou alors Oui v (Nous les notons en gras pour les distinguer des scalaires). Dans la figure 2a), nous les avons situés sur l'avion. Sur la figure 2 b), il a été transféré dans le vecteur v de telle manière que son origine coïncide avec la fin de ou alors. Le vecteur résultant part de l'origine du premier (ou alors) jusqu'au bout du dernier (v):
La figure résultante dans ce cas est un triangle (un triangle est un polygone à 3 côtés). Si nous avons deux vecteurs dans le même sens, la procédure est la même: placez l'un des vecteurs après l'autre et dessinez-en un qui va de l'origine ou de la queue du premier à la pointe ou à la fin du dernier.
Notez que l'ordre dans lequel cette procédure est effectuée n'a pas d'importance, car la somme des vecteurs est commutative.
Notez également que dans ce cas, le module (la longueur ou la taille) du vecteur résultant est la somme des modules des vecteurs ajoutés, contrairement au cas précédent, dans lequel le module du vecteur résultant est inférieur à la somme des modules des participants.
Cette méthode est très appropriée lorsque vous devez ajouter deux vecteurs dont les points d'origine coïncident, par exemple, avec l'origine d'un système de coordonnées x-y. Supposons que ce soit le cas pour nos vecteurs ou alors Oui v (figure 3a):
Sur la figure 3b), un parallélogramme a été construit à l'aide de lignes pointillées parallèles à ou alors déjà v. Le vecteur résultant a son origine en O et sa fin au point d'intersection des lignes pointillées. Cette procédure est tout à fait équivalente à celle décrite dans la section précédente..
Étant donné les vecteurs suivants, trouvez le vecteur résultant en utilisant la méthode de traversée.
La méthode de traversée est la première des méthodes vues. Rappelez-vous que la somme des vecteurs est commutative (l'ordre des addends ne modifie pas la somme), vous pouvez donc commencer par n'importe lequel des vecteurs, par exemple ou alors (figure 5a) ou r (figure 5b):
La figure obtenue est un polygone et le vecteur résultant (en bleu) est appelé R. Si vous commencez avec un autre vecteur, la forme qui est formée peut être différente, comme on peut le voir dans l'exemple, mais le vecteur résultant est le même.
Dans la figure suivante, on sait que les modules des vecteurs ou alors Oui v ils sont respectivement u = 3 unités arbitraires et v = 1,8 unités arbitraires. L'angle qui ou alors la forme avec l'axe des x positif est de 45 °, tandis que v il forme 60 ° avec l'axe y, comme le montre la figure. Trouvez le vecteur, la magnitude et la direction résultants.
Dans la section précédente, le vecteur résultant a été trouvé en appliquant la méthode du parallélogramme (en turquoise sur la figure).
Un moyen facile de trouver analytiquement le vecteur résultant est d'exprimer les vecteurs addend en termes de leurs composantes cartésiennes, ce qui est facile lorsque le module et l'angle sont connus, comme les vecteurs dans cet exemple:
ou alorsX = u. cos 45 ° = 3 x cos 45 ° = 2,12; ou alorsOui = u. sin 45 ° = 3x sin 45 ° = 2,12
vX = v. sin 60 ° = 1,8 x sin 60 ° = 1,56; vOui = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9
Vecteurs ou alors Oui v ce sont des vecteurs appartenant au plan, ayant donc chacun deux composantes. Le vecteur u est dans le premier quadrant et ses composantes sont positives, tandis que le vecteur v est dans le quatrième quadrant; sa composante x est positive, mais sa projection sur l'axe vertical tombe sur l'axe y négatif.
Le vecteur résultant est trouvé en ajoutant algébriquement les composantes x et y respectives, pour obtenir leurs composantes cartésiennes:
RX = 2,12 + 1,56 = 3,68
ROui = 2,12 + (-0,9) = 1,22
Une fois les composantes cartésiennes spécifiées, le vecteur est parfaitement connu. Le vecteur résultant peut être exprimé avec la notation entre crochets (croisillons):
R = < 3.68; 1.22> unités arbitraires
La notation entre crochets est utilisée pour distinguer un vecteur d'un point dans le plan (ou dans l'espace). Une autre façon d'exprimer analytiquement le vecteur résultant consiste à utiliser les vecteurs unitaires je et j dans le plan (je, j Oui k dans l'espace):
R = 3,68 je + 1,22 j unités arbitraires
Puisque les deux composants du vecteur résultant sont positifs, le vecteur R appartient au premier quadrant, qui avait déjà été vu graphiquement auparavant.
Connaissant les composantes cartésiennes, la grandeur de R est calculée par le théorème de Pythagore, puisque le vecteur résultant R, avec ses composants RX et ROui forme un triangle rectangle:
Magnitude ou module: R = (3,68deux + 1,22deux)½ = 3,88
Direction q prenant comme référence l'axe x positif: q = arctan (ROui / RX) = arcg (1,22 / 3,68) = 18,3 º
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