La vitesse angulaire est une mesure de la vitesse de rotation et est définie comme l'angle de rotation du vecteur de position de l'objet en rotation, par unité de temps. C'est une grandeur qui décrit très bien le mouvement d'une multitude d'objets qui tournent constamment partout: CD, roues de voiture, machines, la Terre et bien d'autres..
Un diagramme du "London Eye" peut être vu dans la figure suivante. Il représente le mouvement d'un passager représenté par le point P, qui suit la trajectoire circulaire, appelée c:
Le passager occupe la position P à l'instant t et la position angulaire correspondant à cet instant est ϕ.
A partir de l'instant t, une période de temps Δt s'écoule. Dans cette période, la nouvelle position du passager ponctuel est P 'et la position angulaire a augmenté d'un angle Δϕ.
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Pour les quantités de rotation, les lettres grecques sont largement utilisées afin de les différencier des quantités linéaires. Donc, au départ, nous définissons la vitesse angulaire moyenne ωm comme l'angle parcouru dans une période de temps donnée.
Alors le quotient Δϕ / Δt représentera la vitesse angulaire moyenne ωm entre les instants t et t + Δt.
Si vous souhaitez calculer le vitesse angulaire juste à l'instant t, alors nous devrons calculer le quotient Δϕ / Δt lorsque Δt ➡0:
Vitesse linéaire v, est le quotient entre la distance parcourue et le temps nécessaire pour le parcourir.
Sur la figure ci-dessus, l'arc parcouru est Δs. Mais cet arc est proportionnel à l'angle parcouru et au rayon, la relation suivante étant remplie, ce qui est valable tant que Δϕ est mesuré en radians:
Δs = r ・ Δϕ
Si nous divisons l'expression précédente par le laps de temps Δt et prenons la limite lorsque Δt ➡0, nous obtiendrons:
v = r ・ ω
Un mouvement de rotation est uniforme si à tout instant observé, l'angle parcouru est le même dans la même période de temps.
Si la rotation est uniforme, alors la vitesse angulaire à tout instant coïncide avec la vitesse angulaire moyenne.
De plus, lors d'un virage complet, l'angle parcouru est de 2π (équivalent à 360 °). Par conséquent, dans une rotation uniforme, la vitesse angulaire ω est liée à la période T, par la formule suivante:
f = 1 / T
En d'autres termes, dans une rotation uniforme, la vitesse angulaire est liée à la fréquence par:
ω = 2π ・ f
Les cabines du grand rouet connu sous le nom de "Oeil de londres«Ils se déplacent lentement. La vitesse des cabines est de 26 cm / s et la roue mesure 135 m de diamètre.
Avec ces données, calculez:
i) La vitesse angulaire de la roue
ii) La fréquence de rotation
iii) Le temps qu'il faut à une cabine pour faire un tour complet.
Réponses:
je) La vitesse v en m / s est: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.
Le rayon est égal à la moitié du diamètre: r = (135 m) / 2 = 67,5 m
v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10-4 tours / s
f = 6,13 x 10 ^ -4 tours / s = 0,0368 tour / min = 2,21 tours / heure.
iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 tour / heure = 0,45311 heure = 27 min 11 s
Une voiture miniature se déplace sur une piste circulaire d'un rayon de 2 m. A 0 s sa position angulaire est de 0 rad, mais après un temps t sa position angulaire est donnée par:
φ (t) = 2 ・ t
Déterminer:
i) La vitesse angulaire
ii) La vitesse linéaire à tout instant.
Réponses:
je) La vitesse angulaire est la dérivée de la position angulaire: ω = φ '(t) = 2.
Autrement dit, la voiture miniature a à tout moment une vitesse angulaire constante égale à 2 rad / s.
ii) La vitesse linéaire de la voiture est: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / h
La même voiture de l'exercice précédent commence à s'arrêter. Sa position angulaire en fonction du temps est donnée par l'expression suivante:
φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ tdeux
Déterminer:
i) La vitesse angulaire à tout instant
ii) La vitesse linéaire à tout instant
iii) Le temps qu'il faut pour s'arrêter à partir du moment où il commence à décélérer
iv) L'angle parcouru
v) distance parcourue
Réponses:
je) La vitesse angulaire est la dérivée de la position angulaire: ω = φ '(t)
ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ tdeux) '= 2 - t
ii) La vitesse linéaire de la voiture à tout instant est donnée par:
v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t
iii) Le temps qu'il faut pour s'arrêter à partir du moment où il commence à décélérer, est déterminé en connaissant le moment où la vitesse v (t) devient nulle.
v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2
Autrement dit, il s'arrête 2 s après avoir commencé à freiner.
iv) Dans la période de 2 s entre le moment où il commence à freiner et celui où il s'arrête, un angle donné par φ (2) est parcouru:
φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 degrés
v) Dans la période de 2 s entre le moment où il commence à freiner et celui où il s'arrête, une distance est donnée par:
s = r ・ φ = 2 m ・ 2 rad = 4 m
Les roues d'une voiture ont un diamètre de 80 cm. Si la voiture roule à 100 km / h. Trouvez: i) la vitesse angulaire de rotation des roues, ii) la fréquence de rotation des roues, iii) Le nombre de tours que fait la roue sur un trajet de 1 heure.
Réponses:
je) Nous allons d'abord convertir la vitesse de la voiture de Km / h en m / s
v = 100 km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s
La vitesse angulaire de rotation des roues est donnée par:
ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s
ii) La fréquence de rotation des roues est donnée par:
f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 tour / s
La fréquence de rotation est généralement exprimée en tours par minute r.p.m.
f = 11,05 tours / s = 11,05 tours / (1/60) min = 663,15 tours par minute
iii) Le nombre de tours effectués par la roue en 1 heure de trajet est calculé en sachant que 1 heure = 60 min et que la fréquence est le nombre de tours N divisé par le temps dans lequel ces N tours sont effectués.
f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (tours / min) x 60 min = 39788,7 tours.
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