La Vitesse instantanée il est défini comme le changement instantané du déplacement dans le temps. C'est un concept qui ajoute une grande précision à l'étude du mouvement. Et c'est une avance par rapport à la vitesse moyenne, dont les informations sont très générales.
Pour obtenir la vitesse instantanée, examinons un intervalle de temps aussi petit que possible. Le calcul différentiel est l'outil parfait pour exprimer cette idée mathématiquement.
Le point de départ est la vitesse moyenne:
Cette limite est connue sous le nom de dérivé. Dans la notation de calcul différentiel, nous avons:
))
Chaque fois que le mouvement est limité à une ligne droite, la notation vectorielle peut être supprimée.
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La figure suivante montre l'interprétation géométrique du concept dérivé: c'est la pente de la droite tangente à la courbe x (t) contre t à chaque point.
Vous pouvez imaginer comment obtenir la limite si le point Q s'approche petit à petit du point P. Il viendra un moment où les deux points seront si proches que vous ne pourrez plus distinguer l'un de l'autre..
La ligne qui les joint passera alors de sécante (ligne qui se coupe en deux points) à tangente (ligne qui touche la courbe en un seul point). Par conséquent, pour trouver la vitesse instantanée d'une particule en mouvement, nous devrions avoir:
Ou bien:
-La pente de la tangente à la courbe en P est de 0. Une pente nulle signifie que le mobile est stationnaire et que sa vitesse est bien entendu de 0.
-La pente de la droite tangente à la courbe en P est supérieure à 0. La vitesse est positive. Dans le graphique ci-dessus, cela signifie que le mobile s'éloigne de O.
-La pente de la tangente à la courbe en P est inférieure à 0. La vitesse serait négative. Dans le graphique ci-dessus, il n'y a pas de tels points, mais dans ce cas, la particule se rapprocherait de O.
-La pente de la droite tangente à la courbe est constante en P et en tous les autres points. Dans ce cas, le graphique est une ligne droite et le mobile a mouvement de ligne uniforme MRU (sa vitesse est constante).
En général, la fonction v (t) c'est aussi une fonction du temps, qui à son tour peut avoir une dérivée. Et s'il n'était pas possible de trouver les dérivées des fonctions x (t) Oui v (t)?
Dans le cas de x (t) il se peut que la pente - la vitesse instantanée - change de signe brusquement. Ou qu'il passerait de zéro à une valeur différente immédiatement.
Si tel est le cas, le graphique x (t) il présenterait des points ou des coins aux endroits de changements brusques. Très différent du cas représenté sur l'image précédente, dans laquelle la courbe x (t) est une courbe lisse, sans points, coins, discontinuités ou changements brusques.
La vérité est que pour les vrais mobiles, les courbes lisses sont celles qui représentent le mieux le comportement de l'objet.
Le mouvement en général est assez complexe. Les mobiles peuvent être arrêtés pendant un moment, accélérer pour passer du repos pour avoir une vitesse et s'éloigner du point de départ, maintenir la vitesse pendant un moment, puis freiner pour s'arrêter à nouveau et ainsi de suite..
Encore une fois, ils peuvent recommencer et continuer dans la même direction. Ou actionner la marche arrière et le retour. C'est ce qu'on appelle un mouvement varié dans une dimension..
Voici quelques exemples de calcul de la vitesse instantanée qui clarifieront l'utilisation des définitions données:
Une particule se déplace le long d'une ligne droite avec la loi de mouvement suivante:
x (t) = -t3 + 2 tdeux + 6 t - 10
Toutes les unités sont dans le système international. Trouve:
a) La position de la particule à t = 3 secondes.
b) La vitesse moyenne dans l'intervalle entre t = 0 s et t = 3 s.
c) La vitesse moyenne dans l'intervalle entre t = 0 s et t = 3 s.
d) La vitesse instantanée de la particule de la question précédente, à t = 1 s.
a) Pour trouver la position de la particule, la loi du mouvement (fonction de position) est évaluée à t = 3:
x (3) = (-4/3) .33 + 2. 3deux + 6,3 à 10 m = -10 m
Il n'y a aucun problème que la position soit négative. Le signe (-) indique que la particule est à gauche de l'origine O.
b) Dans le calcul de la vitesse moyenne, les positions finale et initiale de la particule sont requises aux instants indiqués: x (3) et x (0). La position à t = 3 est x (3) et est connue du résultat précédent. La position à t = 0 seconde est x (0) = -10 m.
La position finale étant la même que la position initiale, on en conclut immédiatement que la vitesse moyenne est de 0.
c) La vitesse moyenne est le rapport entre la distance parcourue et le temps pris. Maintenant, la distance est le module ou l'amplitude du déplacement, donc:
distance = | x2 - x1 | = | -10 - (-10) | m = 20 m
Notez que la distance parcourue est toujours positive.
vm = 20 m / 3 s = 6,7 m / s
d) Ici, il est nécessaire de trouver la première dérivée de la position par rapport au temps. Ensuite, il est évalué pour t = 1 seconde.
x '(t) = -4 tdeux + 4 t + 6
x '(1) = -4,1deux + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s
Ci-dessous, le graphique de la position d'un mobile en fonction du temps. Trouvez la vitesse instantanée à t = 2 secondes.
Tracez la ligne tangente à la courbe à t = 2 secondes, puis calculez sa pente en prenant deux points quelconques sur la ligne.
Dans cet exemple nous prendrons deux points facilement visualisables, dont les coordonnées sont (2 s, 10 m) et la coupe avec l'axe vertical (0 s, 7 m):
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