le analyse dimensionnelle C'est un outil largement utilisé dans différentes branches de la science et de l'ingénierie pour mieux comprendre les phénomènes qui impliquent la présence de différentes grandeurs physiques. Les grandeurs ont des dimensions et à partir de celles-ci les différentes unités de mesure sont dérivées.
L'origine du concept de dimension se trouve chez le mathématicien français Joseph Fourier, qui l'a inventé. Fourier a également compris que pour que deux équations soient comparables, elles doivent être homogènes par rapport à leurs dimensions. Autrement dit, les mètres ne peuvent pas être ajoutés aux kilogrammes.
Ainsi, l'analyse dimensionnelle est chargée d'étudier les grandeurs, les dimensions et l'homogénéité des équations physiques. Pour cette raison, il est fréquemment utilisé pour vérifier les relations et les calculs, ou pour construire des hypothèses sur des questions complexes qui, plus tard, peuvent être testées expérimentalement..
De cette manière, l'analyse dimensionnelle est un outil parfait pour détecter les erreurs dans les calculs en vérifiant la congruence ou l'incongruité des unités utilisées, en mettant un accent particulier sur les unités des résultats finaux..
De plus, l'analyse dimensionnelle est utilisée pour concevoir des expériences systématiques. Il permet de réduire le nombre d'expériences nécessaires, ainsi que de faciliter l'interprétation des résultats obtenus.
L'une des bases fondamentales de l'analyse dimensionnelle est qu'il est possible de représenter toute quantité physique comme un produit des puissances d'une plus petite quantité, appelées quantités fondamentales, dont le reste est dérivé..
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En physique, les grandeurs fondamentales sont considérées comme celles qui permettent aux autres de s'exprimer en fonction de celles-ci. Par convention, on a choisi: la longueur (L), le temps (T), la masse (M), l'intensité du courant électrique (I), la température (θ), l'intensité lumineuse (J) et la quantité de substance (N).
Au contraire, les autres sont considérés comme des quantités dérivées. Certains d'entre eux sont: la surface, le volume, la densité, la vitesse, l'accélération, entre autres..
Une formule dimensionnelle est définie comme l'égalité mathématique qui présente la relation entre une quantité dérivée et les fondamentaux.
Il existe différentes techniques ou méthodes d'analyse dimensionnelle. Deux des plus importants sont les suivants:
Rayleigh, qui avec Fourier a été l'un des précurseurs de l'analyse dimensionnelle, a développé une méthode directe et très simple qui nous permet d'obtenir des éléments sans dimension. Dans cette méthode, les étapes suivantes sont suivies:
1- La fonction caractère potentiel de la variable dépendante est définie.
2- Chaque variable est modifiée par ses dimensions correspondantes.
3- Les équations des conditions d'homogénéité sont établies.
4- Les inconnues n-p sont corrigées.
5- Les exposants qui ont été calculés et fixés dans l'équation de potentiel sont substitués.
6- Les groupes de variables sont déplacés pour définir les nombres sans dimension.
Cette méthode est basée sur le théorème de Buckingham ou le théorème pi, qui stipule ce qui suit:
S'il existe une relation dimensionnelle homogène entre un nombre «n» de grandeurs physiques ou variables où «p» différentes dimensions fondamentales sont incluses, il existe également une relation dimensionnellement homogène entre n-p, groupes sans dimension indépendants.
Le principe de Fourier, également connu sous le nom de principe d'homogénéité dimensionnelle, affecte la bonne structuration des expressions qui lient algébriquement les grandeurs physiques.
C'est un principe qui a une cohérence mathématique et stipule que la seule option est de soustraire ou d'ajouter des quantités physiques de même nature. Par conséquent, il n'est pas possible d'ajouter une masse avec une longueur, ni un temps avec une surface, etc..
De même, le principe stipule que, pour que les équations physiques soient dimensionnellement correctes, le total des termes des membres des deux côtés de l'égalité doit avoir la même dimension. Ce principe permet de garantir la cohérence des équations physiques.
Le principe de similitude est une extension du caractère d'homogénéité dimensionnelle des équations physiques. Il est indiqué comme suit:
Les lois physiques restent inchangées face aux changements de dimensions (taille) d'un événement physique dans le même système d'unités, qu'il s'agisse de changements de nature réelle ou imaginaire..
L'application la plus claire du principe de similitude se produit dans l'analyse des propriétés physiques d'un modèle réalisé à plus petite échelle, pour utiliser ultérieurement les résultats dans l'objet en taille réelle.
Cette pratique est essentielle dans des domaines tels que la conception et la fabrication d'avions et de navires et dans les grands ouvrages hydrauliques.
Parmi les nombreuses applications de l'analyse dimensionnelle, on peut souligner les suivantes..
- Localiser les erreurs possibles dans les opérations effectuées
- Résoudre des problèmes dont la résolution présente une difficulté mathématique insurmontable.
- Concevoir et analyser des modèles à petite échelle.
- Faire des observations sur la façon dont les modifications possibles influencent un modèle.
De plus, l'analyse dimensionnelle est utilisée assez fréquemment dans l'étude de la mécanique des fluides..
La pertinence de l'analyse dimensionnelle en mécanique des fluides tient à la difficulté d'établir des équations dans certains flux ainsi qu'à la difficulté de les résoudre, c'est pourquoi il est impossible d'établir des relations empiriques. Pour cette raison, il faut passer à la méthode expérimentale.
Trouvez l'équation dimensionnelle de la vitesse et de l'accélération.
Puisque v = s / t, il est vrai que: [v] = L / T = L ∙ T-1
Pareillement:
a = v / t
[a] = L / Tdeux = L ∙ T-deux
Déterminer l'équation dimensionnelle de la quantité de mouvement.
Puisque l'impulsion est le produit de la masse et de la vitesse, il est vrai que p = m ∙ v
Pourtant:
[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T-deux
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