le centre de gravité d'un corps de taille mesurable est le point où son poids est considéré comme appliqué. C'est donc l'un des concepts fondamentaux de la statique.
La première approche dans les problèmes de physique élémentaire consiste à supposer que tout objet se comporte comme une masse ponctuelle, c'est-à-dire qu'il n'a pas de dimensions et que toute la masse est concentrée en un seul point. Ceci est valable pour une boîte, une voiture, une planète ou une particule subatomique. Ce modèle est connu sous le nom de modèle de particules.
Il s'agit bien sûr d'une approximation, qui fonctionne très bien pour de nombreuses applications. Ce n'est pas une tâche facile de considérer le comportement individuel des milliers et des millions de particules que tout objet peut contenir.
Cependant, les dimensions réelles des choses doivent être prises en compte si l'on veut obtenir des résultats plus proches de la réalité. Puisque nous sommes généralement à proximité de la Terre, la force omniprésente sur tout corps est précisément le poids.
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Si la taille du corps doit être prise en compte, à quel endroit le poids doit-il être appliqué? Lorsque vous avez un objet arbitrairement continu, son poids est un force distribuée entre chacune de ses particules constitutives.
Que ces particules soient m1, mdeux, m3… Chacun d'eux éprouve sa force gravitationnelle correspondante m1g, mdeuxg, m3g…, tous parallèles. Il en est ainsi, puisque le champ gravitationnel de la Terre est considéré comme constant dans la grande majorité des cas, étant donné que les objets sont petits par rapport à la taille de la planète et sont proches de sa surface..
La somme vectorielle de ces forces se traduit par le poids de l'objet, appliqué au point appelé centre de gravité désigné sur la figure par CG, qui coïncide alors avec le Centre de masse. Le centre de masse à son tour est le point où toute la masse pourrait être considérée comme concentrée.
Le poids résultant a une magnitude Mg où M est la masse totale de l'objet, et bien sûr il est dirigé verticalement vers le centre de la Terre. La notation de sommation est utile pour exprimer la masse totale du corps:
Le centre de gravité ne coïncide pas toujours avec un point matériel. Par exemple, le centre de gravité d'un anneau est à son centre géométrique, là où il n'y a pas de masse elle-même. Même ainsi, si vous voulez analyser les forces agissant sur un cerceau, vous devez appliquer le poids à ce point précis.
Dans les cas où l'objet a une forme arbitraire, s'il est homogène, son centre de masse peut encore être calculé en trouvant le centroïde ou centre de gravité de la figure.
En principe, si le centre de gravité (CG) et le centre de masse (cm) coïncident car le champ gravitationnel est uniforme, alors le cm peut être calculé et le poids lui est appliqué..
Considérons deux cas: le premier est celui dans lequel la distribution de masse est discrète; c'est-à-dire que chaque masse qui compose le système peut être comptée et affectée d'un nombre i, comme cela a été fait dans l'exemple précédent.
Les coordonnées du centre de masse pour une distribution de masse discrète sont:
Naturellement, la somme de toutes les masses est égale à la masse totale du système M, comme indiqué ci-dessus..
Les trois équations sont réduites à une forme compacte en considérant le vecteur rcm ou vecteur de position du centre de gravité:
Et dans le cas d'une distribution de masse continue, où les particules sont de taille différentielle et ne peuvent être distinguées pour les compter, la somme est remplacée par une intégrale qui se fait sur le volume occupé par l'objet en question:
Où r est le vecteur de position d'une masse différentielle dm et la définition de la masse volumique a été utilisée pour exprimer le différentiel de masse dm contenu dans un différentiel de volume dV:
Voici quelques considérations importantes concernant le centre de gravité:
- Bien qu'un système de référence soit nécessaire pour établir les positions, le centre de gravité ne dépend pas du choix fait du système, puisqu'il s'agit d'une propriété de l'objet.
- Lorsque l'objet a un axe ou un plan de symétrie, le centre de gravité se trouve sur cet axe ou plan. Profiter de cette circonstance permet de gagner du temps de calcul.
- Toutes les forces externes agissant sur l'objet peuvent être appliquées au centre de gravité. Le suivi du mouvement de ce point donne une idée globale du mouvement de l'objet et facilite le travail d'étude de son comportement..
Supposons que vous vouliez que le corps de la figure précédente soit en équilibre statique, c'est-à-dire qu'il ne se déplace pas ou ne tourne pas autour d'un axe de rotation arbitraire qui peut être O.
Une fine barre de matériau uniforme mesure 6 m de long et pèse 30 N. Un poids de 50 N est suspendu à son extrémité gauche et un poids de 20 N est suspendu à son extrémité droite. Trouvez: a) L'amplitude de la force ascendante nécessaire pour maintenir l'équilibre de la barre, b) Le centre de gravité de l'ensemble.
Le diagramme de force est illustré dans la figure suivante. Le poids de la barre est appliqué à son centre de gravité, qui coïncide avec son centre géométrique. La seule dimension de la barre prise en compte est sa longueur, puisque la déclaration informe qu'elle est mince.
Pour que le système barre + poids reste en équilibre de translation, la somme des forces doit être nulle. Les forces sont verticales, si l'on considère up avec signe + et down avec signe - alors:
F- 50 - 20 - 30 N = 0
F = 100 N
Cette force garantit l'équilibre translationnel. Prendre les moments de torsion de toutes les forces par rapport à un axe passant par l'extrémité gauche du système et appliquer la définition:
t = r x F
Les moments de toutes ces forces autour du point sélectionné sont perpendiculaires au plan de la barre:
tF = xF = 100x
tW = - (l / 2) mg = -3m. 30 N = -90 N.m
t1 = 0 (puisque la force de 50 N passe par l'axe de rotation sélectionné et n'exerce pas de moment)
tdeux = -lFdeux = 6 m. 20 N = -120 N.m
Donc:
100 x -90 -120 N.m = 0
x = 2,10 m
Le centre de gravité de l'ensemble barre + poids est situé à 2,10 mètres de l'extrémité gauche de la barre.
Le centre de gravité coïncide avec le centre de masse, comme indiqué, tant que le champ gravitationnel terrestre est constant pour tous les points de l'objet à considérer. Le champ gravitationnel de la Terre n'est rien d'autre que la valeur bien connue et familière de g = 9,8 m / sdeux dirigé verticalement vers le bas.
Bien que la valeur de g varie avec la latitude et l'altitude, celles-ci n'affectent généralement pas les objets qui le sont la plupart du temps. Ce serait très différent si vous considérez un gros corps à proximité de la Terre, par exemple un astéroïde très proche de la planète.
L'astéroïde a son propre centre de masse, mais son centre de gravité n'aurait plus à coïncider avec celui-ci, car g connaîtrait probablement des variations substantielles de magnitude, étant donné la taille de l'astéroïde et le poids de chaque particule pourrait ne pas être parallèle.
Une autre différence fondamentale est que le centre de masse est trouvé, qu'il y ait ou non une force appelée poids appliquée à l'objet. C'est une propriété intrinsèque de l'objet qui nous révèle comment sa masse est répartie par rapport à sa géométrie.
Le centre de gravité existe, que le poids soit appliqué ou non. Et il est situé dans la même position même si l'objet se déplace vers une autre planète dans laquelle le champ gravitationnel est différent..
En revanche, le centre de gravité est clairement lié à l'application du poids, comme nous l'avons vu tout au long des paragraphes précédents..
Il est très facile de savoir où se trouve le centre de gravité d'un objet irrégulier tel qu'une tasse. Tout d'abord, il est suspendu à n'importe quel point et à partir de là, une ligne verticale est dessinée (sur la figure 5, il s'agit de la ligne fuchsia dans l'image de gauche).
Il est ensuite suspendu à un autre point et une nouvelle verticale est dessinée (ligne turquoise sur l'image de droite). L'intersection des deux lignes est le centre de gravité de la coupe.
Analysons la stabilité d'un camion roulant sur la route. Lorsque le centre de gravité est au-dessus de la base du camion, le camion ne basculera pas. L'image de gauche est la position la plus stable.
Même lorsque le chariot est incliné vers la droite, il pourra revenir à une position d'équilibre stable, comme dans le dessin du milieu, puisque la verticale passe toujours à travers la base. Cependant, lorsque cette ligne passe à l'extérieur, le camion se renverse.
Le diagramme montre les forces au point d'appui: normal en jaune, poids en vert et frottement statique à gauche en fuchsia. La normale et le frottement sont appliqués sur l'axe de rotation, de sorte qu'ils n'exercent pas de couple. Par conséquent, ils ne contribueront pas à renverser le camion.
Le poids reste, ce qui exerce un couple, heureusement dans le sens antihoraire et qui tend à ramener le camion dans sa position d'équilibre. Notez que la ligne verticale passe à travers la surface d'appui, qui est le pneu.
Lorsque le chariot est à l'extrême droite, le couple du poids change dans le sens des aiguilles d'une montre. Ne pouvant être contré une autre fois, le camion se renversera.
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