La constante d'intégration C'est une valeur ajoutée au calcul des primitives ou intégrales, il sert à représenter les solutions qui composent la primitive d'une fonction. Exprimer une ambiguïté inhérente où toute fonction a un nombre infini de primitives.
Par exemple, si nous prenons la fonction: f (x) = 2x + 1 et que nous obtenons sa primitive:
∫ (2x + 1) dx = xdeux + X + C ; Où C est le constante d'intégration et représente graphiquement la translation verticale entre les possibilités infinies de la primitive. Il est correct de dire que (xdeux + x) est ongle des primitives de f (x).
De la même manière, nous pouvons définir un (xdeux + X + C ) comme primitive de f (x).
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On peut noter qu'en dérivant l'expression (xdeux + x) on obtient la fonction f (x) = 2x + 1. Ceci est dû à la propriété inverse existant entre la dérivation et l'intégration des fonctions. Cette propriété permet d'obtenir des formules d'intégration à partir de la différenciation. Ce qui permet la vérification des intégrales à travers les mêmes dérivées.
Cependant (xdeux + x) n'est pas la seule fonction dont la dérivée est égale à (2x + 1).
Où 1, 2, 3 et 4 représentent des primitives particulières de f (x) = 2x + 1. Alors que 5 représente l'intégrale indéfinie ou primitive de f (x) = 2x + 1.
Les primitives d'une fonction sont obtenues par le biais de l'antidérivation ou du processus intégral. Où F sera une primitive de f si ce qui suit est vrai
On voit qu'une fonction a une seule dérivée, contrairement à ses infinies primitives issues de l'intégration.
∫ f (x) dx = F (x) + C
Il correspond à une famille de courbes avec le même motif, qui éprouvent une incongruité dans la valeur des images de chaque point (x, y). Chaque fonction qui répond à ce modèle sera une primitive individuelle et l'ensemble de toutes les fonctions est appelé intégrale indéfinie.
La valeur du constante d'intégration sera celui qui différenciera chaque fonction dans la pratique.
La constante d'intégration suggère un décalage vertical dans tous les graphiques représentant les primitives d'une fonction. Où le parallélisme entre eux est observé, et le fait que C est la valeur du déplacement.
Selon les pratiques courantes, le constante d'intégration il est indiqué par la lettre "C" après un ajout, bien qu'en pratique, peu importe si la constante est ajoutée ou soustraite. Sa valeur réelle peut être trouvée de différentes manières selon différents conditions initiales.
On a déjà parlé de la façon dont le constante d'intégration est appliqué dans la branche de calcul intégral; Représentant une famille de courbes qui définissent l'intégrale indéfinie. Mais de nombreuses autres sciences et branches ont attribué des valeurs très intéressantes et pratiques à la constante d'intégration, qui ont facilité le développement de multiples études.
Dans la physique la constante d'intégration peut prendre plusieurs valeurs selon la nature des données. Un exemple très courant est la connaissance de la fonction V (t) qui représente le rapidité d'une particule en fonction du temps t. On sait que lors du calcul d'une primitive de V (t) la fonction est obtenue R (t) qui représente le positionner particule en fonction du temps.
La constante d'intégration représentera la valeur de la position initiale, c'est-à-dire au temps t = 0.
De même, si la fonction est connue À) qui représente le accélération de la particule en fonction du temps. La primitive de A (t) donnera la fonction V (t), où le constante d'intégration sera la valeur de la vitesse initiale V0.
Dans la économie, en obtenant par intégration la primitive d'une fonction de coût. La constante d'intégration représentera des coûts fixes. Et tant d'autres applications qui méritent le calcul différentiel et intégral.
Pour calculer le constante d'intégration, il sera toujours nécessaire de connaître le conditions initiales. Qui sont responsables de définir laquelle des primitives possibles est la.
Dans de nombreuses applications, elle est traitée comme une variable indépendante au temps (t), où la constante C prend les valeurs qui définissent le conditions initiales du cas particulier.
Si nous prenons l'exemple initial: ∫ (2x + 1) dx = xdeux + X + C
Une condition initiale valide peut être de conditionner que le graphique passe par une coordonnée spécifique. Par exemple, on sait que la primitive (xdeux + X + C) passe par le point (1, 2)
F (x) = xdeux + X + C; c'est la solution générale
F (1) = 2
Nous substituons la solution générale à cette égalité
F (1) = (1)deux + (1) + C = 2
D'où il suit facilement que C = 0
De cette manière, la primitive correspondante pour ce cas est F (x) = xdeux + X
Il existe plusieurs types d'exercices numériques qui fonctionnent avec constantes d'intégration. En fait, le calcul différentiel et intégral ne cesse d'être appliqué dans les enquêtes actuelles. À différents niveaux académiques, ils peuvent être trouvés; du calcul initial, en passant par la physique, la chimie, la biologie, l'économie, entre autres.
On le voit également dans l'étude de équations différentielles, où le constante d'intégration Il peut prendre différentes valeurs et solutions, ceci en raison des multiples dérivations et intégrations qui sont effectuées dans ce domaine.
On sait que dans un mouvement rectiligne uniformément varié, l'accélération est une valeur constante. C'est le cas du lancement du projectile, où l'accélération sera gravitationnelle
g = - 10 m / sdeux
On sait également que l'accélération est la dérivée seconde de la position, ce qui indique une double intégration dans la résolution de l'exercice, obtenant ainsi deux constantes d'intégration.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C1
Les conditions initiales de l'exercice indiquent que la vitesse initiale est V0 = 25 m / s. C'est la vitesse à l'instant t = 0. De cette manière, on vérifie que:
V (0) = 25 = -10 (0) + C1 Oui C1 = 25
La fonction de vitesse en cours de définition
V (t) = -10t + 25; La similitude avec la formule MRUV (VF = V0 + a x t)
De manière homologue, nous procédons à l'intégration de la fonction de vitesse pour obtenir l'expression qui définit la position:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5tdeux + 25 t + Cdeux
R (t) = -5tdeux + 25 t + Cdeux (primitive de position)
La position initiale R (0) = 30 m est connue. Ensuite, la primitive particulière du projectile est calculée.
R (0) = 30 m = -5 (0)deux + 25 (0) + Cdeux . Où Cdeux = 30
La première section est résolue depuis R (t) = -5tdeux + 25 t + 30 ; Cette expression est homologue à la formule de déplacement dans MRUV R (t) = R0 + V0t - gtdeux/deux
Pour la deuxième section, l'équation quadratique doit être résolue: -5tdeux + 25t + 30 = 0
Puisque cela conditionne la particule à atteindre le sol (position = 0)
En fait, l'équation du 2ème degré nous donne 2 solutions T: 6, -1. La valeur t = -1 est ignorée car il s'agit d'unités de temps dont le domaine n'inclut pas de nombres négatifs.
De cette façon, la deuxième section est résolue où le temps de vol est égal à 6 secondes.
Avec l'information de la deuxième dérivée f "(x) = 4, le processus d'antidérivation commence
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫4 dx = 4x + C1
Alors, connaissant la condition f '(2) = 2, on procède:
4 (2) + C1 = 2
C1 = -6 et f '(x) = 4x - 8
Procédez de la même manière pour le second constante d'intégration
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2xdeux - 8x + Cdeux
La condition initiale f (0) = 7 est connue et on procède:
2 (0)deux - 8 (0) + Cdeux = 7
Cdeux = 7 et f (x) = 2xdeux - 8x + 7
De manière similaire au problème précédent, nous définissons les premières dérivées et la fonction d'origine à partir des conditions initiales.
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫ (xdeux) dx = (x3/ 3) + C1
Avec la condition f '(0) = 6 on procède:
(03/ 3) + C1 = 6; Où1 = 6 et f '(x) = (x3/ 3) + 6
Puis le second constante d'intégration
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ [(x3/ 3) + 6] dx = (x4/ 12) + 6x + Cdeux
La condition initiale f (0) = 3 est connue et on procède:
[(0)4/ 12] + 6 (0) + Cdeux = 3; Oùdeux = 3
On obtient ainsi le particulier primitif
f (x) = (X4/ 12) + 6x + 3
Il est important de se rappeler que les dérivées se réfèrent à la pente de la ligne tangente à la courbe en un point donné. Où il n'est pas correct de supposer que le graphe de la dérivée touche le point indiqué, puisque celui-ci appartient au graphe de la fonction primitive.
De cette façon, nous exprimons l'équation différentielle comme suit:
dy = (2x - 2) dx ; puis lors de l'application des critères anti-dérivation, nous avons:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
y = xdeux - 2x + C
Application de la condition initiale:
2 = (3)deux - 2 (3) + C
C = -1
Est obtenu: f (x) = xdeux - 2x - 1
Nous exprimons l'équation différentielle comme suit:
dy = (3xdeux - 1) dx ; puis lors de l'application des critères anti-dérivation, nous avons:
∫dy = ∫ (3xdeux - 1) dx
y = x3 - x + C
Application de la condition initiale:
2 = (0)deux - 2 (0) + C
C = 2
Est obtenu: f (x) = x3 - x + 2
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