La décomposition additive d'un entier positif est de l'exprimer comme une somme de deux ou plusieurs entiers positifs. Ainsi, nous avons que le nombre 5 peut être exprimé comme 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 ou 5 = 1 + 2 + 2. Chacune de ces manières d'écrire le nombre 5 est ce que nous appellerons la décomposition additive.
Si nous y prêtons attention, nous pouvons voir que les expressions 5 = 2 + 3 et 5 = 3 + 2 représentent la même composition; ils ont tous les deux les mêmes numéros. Cependant, juste pour des raisons de commodité, chacun des addends est généralement écrit en suivant le critère du plus bas au plus élevé.
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Comme autre exemple, nous pouvons prendre le nombre 27, que nous pouvons exprimer comme:
27 = 7 + 10 + 10
27 = 9 + 9 + 9
27 = 3 + 6 + 9 + 9
27 = 9 + 18
La décomposition additive est un outil très utile qui nous permet de renforcer notre connaissance des systèmes de numérotation.
Quand nous avons des nombres avec plus de deux chiffres, une manière particulière de les décomposer est dans les multiples de 10, 100, 1000, 10 000, etc., qui le composent. Cette façon d'écrire n'importe quel nombre est appelée décomposition additive canonique. Par exemple, le nombre 1456 peut être décomposé comme suit:
1456 = 1 000 + 400+ 50 + 6
Si nous avons le nombre 20846295, sa décomposition additive canonique sera:
20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.
Grâce à cette décomposition, nous pouvons voir que la valeur d'un chiffre donné est donnée par la position qu'il occupe. Prenons les nombres 24 et 42 comme exemple:
24 = 20 + 4
42 = 40 +2
Ici, nous pouvons voir que dans 24, le 2 a une valeur de 20 unités et le 4 une valeur de 4 unités; par contre, en 42, le 4 a une valeur de 40 unités et le 2 de deux unités. Ainsi, bien que les deux nombres utilisent les mêmes chiffres, leurs valeurs sont totalement différentes en raison de la position qu'ils occupent.
Une des applications que nous pouvons donner à la décomposition additive est dans certains types de preuves, dans lesquelles il est très utile de voir un entier positif comme la somme des autres.
Prenons comme exemple le théorème suivant avec ses preuves respectives.
- Soit Z un nombre entier à 4 chiffres, alors Z est divisible par 5 si son nombre d'unités est zéro ou cinq.
Rappelons-nous ce qu'est la divisibilité. Si nous avons des entiers «a» et «b», nous disons que «a» divise «b» s'il existe un entier «c» tel que b = a * c.
Une des propriétés de la divisibilité nous dit que si «a» et «b» sont divisibles par «c», alors la soustraction «a-b» est également divisible..
Soit Z un entier à 4 chiffres; on peut donc écrire Z comme Z = ABCD.
En utilisant la décomposition additive canonique, nous avons:
Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D
Il est clair que A * 1000 + B * 100 + C * 10 est divisible par 5. Pour cette raison, nous avons que Z est divisible par 5 si Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) est divisible par 5.
Mais Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D et D est un nombre à un seul chiffre, donc le seul moyen pour qu'il soit divisible par 5 est qu'il soit 0 ou 5.
Par conséquent, Z est divisible par 5 si D = 0 ou D = 5.
Notez que si Z a n chiffres, la preuve est exactement la même, cela change seulement que maintenant nous écririons Z = A1Àdeux… Àn et l'objectif serait de prouver que An c'est zéro ou cinq.
Nous disons qu'une partition d'un entier positif est un moyen d'écrire un nombre comme une somme d'entiers positifs.
La différence entre une décomposition additive et une partition est que, alors que la première cherche au moins qu'elle puisse être décomposée en deux additifs ou plus, la partition n'a pas cette restriction.
Ainsi, nous avons ce qui suit:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 2 + 2
Ce qui précède sont des partitions de 5.
Autrement dit, nous savons que chaque décomposition additive est une partition, mais que chaque partition n'est pas nécessairement une décomposition additive..
En théorie des nombres, le théorème fondamental de l'arithmétique garantit que chaque entier peut être écrit uniquement comme un produit de nombres premiers.
Lors de l'étude des partitions, le but est de déterminer de combien de façons un entier positif peut être écrit comme la somme d'autres entiers. Par conséquent, nous définissons la fonction de partition comme présenté ci-dessous.
La fonction de partition p (n) est définie comme le nombre de façons dont un entier positif n peut être écrit comme une somme d'entiers positifs.
Revenant à l'exemple de 5, nous avons que:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 1 + 3
5 = 1 + 2 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Ainsi, p (5) = 7.
Les partitions et les décompositions additives d'un nombre n peuvent être représentées géométriquement. Supposons que nous ayons une décomposition additive de n. Dans cette décomposition, les addends peuvent être arrangés de telle sorte que les membres de la somme soient classés du plus petit au plus grand. Alors ok:
n = a1 + àdeux + à3 +… + Ar avec
à1 ≤ adeux ≤ a3 ≤… ≤ ar.
Nous pouvons représenter graphiquement cette décomposition de la manière suivante: dans une première ligne, nous marquons le a1-points, puis dans le prochain nous marquonsdeux-points, et ainsi de suite jusqu'à atteindre unr.
Prenons par exemple le nombre 23 et sa décomposition suivante:
23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3
On commande cette décomposition et on a:
23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7
Son graphique correspondant serait:
De même, si nous lisons ledit graphe verticalement plutôt qu'horizontalement, nous pouvons obtenir une décomposition éventuellement différente de la précédente. Dans l'exemple de 23, ce qui suit se démarque:
Nous en avons donc 23, nous pouvons également l'écrire comme suit:
23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.
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