Dynamique d'un système de particules exemples, exercices

La dynamique d'un système de particules Il consiste en l'application des lois du mouvement de Newton à un ensemble de particules, qui peuvent être discrètes (les particules peuvent être comptées) ou faire partie d'un objet étendu, dans ce cas le système est continu.

Pour expliquer le mouvement d'un système de particules, il n'est pas pratique d'analyser chacun séparément et de voir quelles forces agissent sur lui. Au lieu de cela, un point représentatif de l'ensemble est défini, appelé le Centre de masse.

Décrire le mouvement du centre de masse offre un aperçu très précis du mouvement global de l'ensemble, cela permet également d'appliquer les lois de Newton d'une manière analogue à lorsque l'objet est considéré comme une particule sans dimension..

Ce dernier modèle, appelé modèle de particules, C'est bon pour décrire les traductions et aussi lorsque vous n'avez pas besoin de prendre en compte les dimensions de l'objet. Mais les objets ordinaires ont de la taille et s'ils ont également un mouvement de rotation, il est nécessaire de prendre en compte les points sur lesquels les forces sont appliquées.

Index des articles

• 1 Exemples
  • 1.1 La Terre et la Lune
  • 1.2 Objets étendus
• 2 Le centre de masse d'un système de particules
  • Mouvement 2.1 CM
  • 2.2 Force sur CM
• 3 Exercice résolu
  • 3.1 Solution a
  • 3.2 Solution b
  • 3.3 Solution c
• 4 Références

Exemples

La Terre et la Lune

Un ensemble de particules discrètes m₁, m_deux, m₃... qui finit par se déplacer par rapport à l'origine d'un système de coordonnées, en raison d'une force résultante agissant sur eux, est un bon exemple de système de particules.

La Terre peut être considérée comme une particule et la Lune une autre, alors toutes deux constituent un système de 2 particules sous l'action de la force de gravité du Soleil..

Objets étendus

Une personne, un animal ou tout objet de l'environnement peut également être considéré comme un système de particules, à la seule différence que celles-ci sont si petites qu'elles ne peuvent pas être comptées une à une. Il s'agit d'un système continu, mais compte tenu de certaines considérations, son traitement est le même que pour un système discret.

Ci-dessous les détails.

Le centre de masse d'un système de particules

Pour commencer l'étude d'un système de particules, il faut trouver le centre de masse (CM), qui est le point où se concentre toute la masse du système..

Pour le système discret de la figure 1, avec n particules, chacune a un vecteur de position dirigé de l'origine O du système de coordonnées vers le point P (x, y, z) où se trouve la particule. Ces vecteurs sont notés r₁, r_deux, r₃... r_n.

Les coordonnées du CM sont calculées à l'aide des équations suivantes:

Où chacune des masses de l'ensemble est représentée par m₁, m_deux, m₃... m_n. Notez que la sommation ∑ m_je égale la masse totale M de l'assemblage. Si le système est continu, les sommations sont remplacées par des intégrales.

Chacune des directions perpendiculaires est représentée par les vecteurs unitaires je, j Oui k, d'où le vecteur de position du CM, noté r_CM, peut être exprimé par:

r_CM = x_CM je + Oui_CM j + z_CM k

Mouvement CM

Une fois que l'emplacement du centre de masse est connu, les équations de mouvement connues s'appliquent. La vitesse du CM est la première dérivée de la position par rapport au temps:

Dans ce cas, le système a un élan total P qui est calculé comme le produit de la masse totale du système et de la vitesse du centre de masse:

P = M ∙v_CM

Alternativement, la quantité de mouvement totale du système peut être calculée directement:

P = m₁v₁ + m_deuxv_deux + m₃v₃ +…. = ∑ m_je v_je

Alors que l'accélération du CM est la dérivée de la vitesse:

Force sur CM

Les forces agissant sur un système de particules peuvent être:

• Forces internes, dues aux interactions entre les mêmes particules.
• Forces externes, causées par des agents externes au système.

Comme les forces internes sont présentées par paires, d'amplitude et de direction égales, mais de directions opposées, selon la troisième loi de Newton, il est vrai que:

∑ F_int = 0

Par conséquent, les forces internes n'altèrent pas le mouvement de l'ensemble, mais elles sont très importantes pour déterminer l'énergie interne..

Si le système est isolé et qu'il n'y a pas de forces externes, selon la première loi de Newton, le centre de masse est au repos ou se déplace avec un mouvement rectiligne uniforme. Sinon, le centre de masse subit une accélération donnée par:

∑ F_ext = M ∙à_CM

Où M est la masse totale du système. L'équation ci-dessus peut être écrite comme ceci:

Et cela signifie que la force externe équivaut à la variation temporelle de l'élan, une autre façon d'exprimer la deuxième loi de Newton et la même que le célèbre physicien anglais a utilisé dans son livre Principe.

Exercice résolu

Le centre de masse d'un système à 2 particules est sur l'axe x à un certain moment, à la position x = 2,0 m et se déplaçant à une vitesse de 5,0 m / s dans la même direction et dans une direction positive. Si l'une des particules est à l'origine et l'autre, de masse 0,1 kg, est au repos à x = 8,0 m, calculer:

a) La masse de la particule qui est à l'origine.

b) Quantité de mouvement du système

c) Quelle est la vitesse de la particule à l'origine?

Solution pour

À partir de l'équation de la position du centre de gravité:

r_CM = x_CM je + Oui_CM j + z_CM k = 2,0 m je

Comme le CM n'a qu'une coordonnée x, seule la première équation du trio donnée précédemment est utilisée:

Maintenant, les coordonnées sont remplacées, si la particule à l'origine est désignée par le numéro 1 et l'autre par le numéro 2, les données numériques sont:

X₁ = 0 m, x_deux = 8,0 m, m_deux = 0,1 kg, x_CM = 2,0 m

Restant:

Solution b

La quantité de mouvement du système est calculée par:

P = M ∙v_CM

La masse totale M est égale à:

M = 0,3 kg + 0,1 kg = 0,4 kg

Donc:

P = 0,4 kg ∙ 5,0 m / s je = 2 kg.m / s je

Solution c

De l'équation pour P d'un système à deux particules, il efface v₁, puisque les autres données sont connues, puisque l'énoncé dit que la particule 2 est au repos, donc:

v_deux = 0 

Oui P cela ressemble simplement à:

P = m₁v₁

v₁ = P / m₁ = 2 kg.m / s je / 0,3 kg = 6,67 m / s je

Les références

1. Université de Duke. Systèmes de particules. Récupéré de: webhome.phy.duke.edu.
2. Rex, A. 2011. Fondamentaux de la physique. Pearson.
3. Sears, Zemansky. 2016. Physique universitaire et physique moderne. 14e. Éd. Volume 1. Pearson.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physique pour la science et l'ingénierie. Volume 1. 7e. Éd. Cengage Learning.
5. Tipler, P. (2006) Physique pour la science et la technologie. 5e éd. Volume 1. Éditorial Reverté.