UNE eneagon est un polygone avec neuf côtés et neuf sommets, qui peut être régulier ou non. Le nom eneágono vient du grec et est composé des mots grecs ennée (neuf et gonon (angle).
Un autre nom pour le polygone à neuf côtés est nonagon, un mot qui vient du latin nonus (neuf et gonon (sommet). D'autre part, si les côtés ou les angles de l'énégon sont inégaux les uns par rapport aux autres, alors nous avons un enegon irrégulier. Si, par contre, les neuf côtés et les neuf angles de l'énégon sont égaux, alors c'est un enegon régulier.
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Pour un polygone à n côtés, la somme de ses angles intérieurs est:
(n - 2) * 180 °
Dans l'énégon, ce serait n = 9, donc la somme de ses angles internes est:
Sa = (9 - 2) * 180 ° = 7 * 180 ° = 1260 °
Dans n'importe quel polygone, le nombre de diagonales est:
D = n (n - 3) / 2 et dans le cas de l'énégon, puisque n = 9, on a alors que D = 27.
Dans l'éneagon régulier ou nonagone, il y a neuf (9) angles internes de mesure égale, donc chaque angle mesure un neuvième de la somme totale des angles internes.
La mesure des angles internes d'un énégon est alors 1260º / 9 = 140º.
Pour dériver la formule de l'aire d'un enegon régulier avec côté ré il est pratique de faire des constructions auxiliaires, comme celles illustrées à la figure 2.
Le centre est situé OU ALORS traçant les bissectrices de deux côtés adjacents. Centre OU ALORS équidistant des sommets.
Un rayon de longueur r est le segment qui part du centre OU ALORS à un sommet de l'énégon. Les rayons sont représentés sur la figure 2. OD Oui OE de longueur r.
L'apothème est le segment qui va du centre au milieu d'un côté de l'énégon. Par exemple JO est un apothème dont la longueur est à.
Nous considérons le triangle ODE de la figure 2. L'aire de ce triangle est le produit de sa base DE pour la hauteur JO divisé par 2:
Surface ODE = (DE * JO) / 2 = (d * a) / 2
Puisqu'il y a 9 triangles d'aire égale dans l'énégon, on en conclut que l'aire de celui-ci est:
Secteur Eneagon = (9/2) (d * a)
Si seule la longueur d des côtés de l'énégon est connue, alors il est nécessaire de trouver la longueur de l'apothème pour pouvoir appliquer la formule de la section précédente.
Nous considérons le triangle ŒIL rectangle dans J (voir figure 2). Si le rapport trigonométrique tangent est appliqué, on obtient:
donc(∡OEJ) = JO / Ex.
L'angle ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, être EO bissectrice de l'angle interne de l'énégon.
D'autre part, JO est l'apothème de la longueur à.
Puis comme J est le milieu de ED il s'ensuit que EJ = d / 2.
En remplaçant les valeurs précédentes dans la relation tangente, nous avons:
bronzé (70 °) = a / (d / 2).
Maintenant, nous effaçons la longueur de l'apothème:
a = (d / 2) bronzé (70 °).
Le résultat précédent est remplacé dans la formule d'aire pour obtenir:
Secteur Eneagon = (9/2) (d * a) = (9/2)( d * (d / 2) bronzé (70 °))
Enfin, nous trouvons la formule qui permet d'obtenir l'aire de l'énégon régulier si seule la longueur est connue ré de ses côtés:
Secteur Eneagon = (9/4) ddeux bronzage (70 °) = 6,1818 ddeux
Le périmètre d'un polygone est la somme de ses côtés. Dans le cas de l'énégon, comme chacun des côtés mesure une longueur ré, son périmètre sera la somme de neuf fois ré, c'est-à-dire:
Périmètre = 9 j
Considérant le triangle ŒIL rectangle dans J (voir figure 2), le rapport cosinus trigonométrique est appliqué:
cos (∡OEJ) = Ex / OE = (d / 2) / r
D'où vient-il:
d = 2r cos (70 °)
En substituant ce résultat, on obtient la formule du périmètre en fonction du rayon de l'énégon:
Périmètre = 9 j = 18 r cos (70 °) = 6,1564 r
1- Pour construire un eneagon régulier, avec une règle et une boussole, partez de la circonférence c qui circonscrit l'énégon. (voir figure 3)
2- Deux lignes perpendiculaires passent par le centre O de la circonférence. Ensuite, les intersections A et B de l'une des lignes sont marquées de la circonférence.
3- Avec la boussole, centrée à l'intersection B et ouverture égale au rayon BO, un arc est dessiné qui intercepte la circonférence d'origine en un point C.
4- L'étape précédente est répétée mais en faisant un centre en A et un rayon AO, un arc est dessiné qui intercepte la circonférence c au point E.
5- Avec l'ouverture AC et le centre en A, un arc de circonférence est dessiné. De même avec l'ouverture BE et le centre B, un autre arc est dessiné. L'intersection de ces deux arcs est marquée comme le point G.
6- Centrage en G et ouverture GA, un arc est dessiné qui intercepte l'axe secondaire (horizontal dans ce cas) au point H. L'intersection de l'axe secondaire avec la circonférence d'origine c est marquée I.
7- La longueur du segment IH est égale à la longueur d du côté de l'énégon.
8- Avec l'ouverture du compas IH = d, les arcs de centre A rayon AJ, centre J rayon AK, centre K rayon KL et centre L rayon LP sont dessinés successivement.
9- De même, à partir de A et du côté droit, des arcs de rayon IH = d sont dessinés qui marquent les points M, N, C et Q sur la circonférence d'origine c.
10- Enfin les segments AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ et enfin PB sont dessinés.
Il est à noter que la méthode de construction n'est pas tout à fait exacte, car on peut vérifier que le dernier côté PB est 0,7% plus long que les autres côtés. À ce jour, il n'existe aucune méthode connue de construction avec une règle et une boussole qui soit précise à 100%..
Voici quelques exemples travaillés.
Vous voulez construire un enegon régulier dont les côtés mesurent 2 cm. Quel rayon doit avoir la circonférence qui le circonscrit, de sorte que lors de l'application de la construction décrite précédemment, le résultat souhaité soit obtenu?
Solution:
Dans une section précédente, la formule qui relie le rayon r du cercle circonscrit au côté d d'un enegon régulier a été déduite:
d = 2r cos (70 °)
En résolvant r à partir de l'expression précédente, nous avons:
r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d
En remplaçant la valeur d = 2 cm dans la formule précédente, un rayon r de 2,92 cm est obtenu.
Quelle est l'aire d'un enegon régulier avec un côté de 2 cm?
Solution:
Pour répondre à cette question, il faut se référer à la formule, précédemment représentée, qui permet de trouver l'aire d'un énégon connu par la longueur d de son côté:
Secteur Eneagon = (9/4) ddeux bronzage (70 °) = 6,1818 ddeux
En remplaçant d par sa valeur de 2 cm dans la formule précédente, on obtient:
Secteur Eneagon = 24,72 cm
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