Ils sont Identités pythagoriciennes toutes les équations trigonométriques valables pour n'importe quelle valeur de l'angle et basées sur le théorème de Pythagore. La plus célèbre des identités pythagoriciennes est l'identité trigonométrique fondamentale:
Sendeux(α) + Cosdeux(α) = 1
Ensuite en importance et j'utilise l'identité pythagoricienne de la tangente et de la sécante:
Doncdeux(α) + 1 = Secdeux(α)
Et l'identité trigonométrique de Pythagore impliquant la cotangente et la cosécante:
1 + Ctgdeux(α) = Cscdeux(α)
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Les rapports trigonométriques Sein Oui cosinus ils sont représentés dans un cercle de rayon un (1) appelé cercle trigonométrique. Ledit cercle a le centre à l'origine des coordonnées O.
Les angles sont mesurés à partir du demi-axe positif du X, par exemple l'angle α sur la figure 2 (voir ci-dessous). Dans le sens antihoraire si l'angle est positif et dans le sens horaire s'il s'agit d'un angle négatif.
Le rayon d'origine O et d'angle α est dessiné, qui intercepte le cercle unité au point P. Le point P est projeté orthogonalement sur l'axe horizontal X donnant naissance au point C. S.
On a le triangle rectangle OCP en C.
Il faut se rappeler que le rapport trigonométrique Sein est défini sur un triangle rectangle comme suit:
Le sinus d'un angle du triangle est le rapport ou quotient entre la jambe opposée à l'angle et l'hypoténuse du triangle.
Appliqué au triangle OCP de la figure 2, cela ressemblerait à ceci:
Sen (α) = CP / OP
mais CP = OS et OP = 1, de sorte que:
Sen (α) = OS
Cela signifie que l'OS de projection sur l'axe Y a une valeur égale au sinus de l'angle affiché. Il est à noter que la valeur maximale du sinus d'un angle (+1) se produit lorsque α = 90º et la valeur minimale (-1) lorsque α = -90º ou α = 270º.
De même, le cosinus d'un angle est le quotient entre la jambe adjacente à l'angle et l'hypoténuse du triangle..
Appliqué au triangle OCP de la figure 2, cela ressemblerait à ceci:
Cos (α) = OC / OP
mais OP = 1, de sorte que:
Cos (α) = OC
Cela signifie que la projection OC sur l'axe X a une valeur égale au sinus de l'angle indiqué. Il est à noter que la valeur maximale du cosinus (+1) se produit lorsque α = 0º ou α = 360º, tandis que la valeur minimale du cosinus est (-1) lorsque α = 180º.
Pour le triangle rectangle OCP en C, le théorème de Pythagore est appliqué, qui stipule que la somme du carré des jambes est égale au carré de l'hypoténuse:
CPdeux + OCdeux = OPdeux
Mais on a déjà dit que CP = OS = Sen (α), que OC = Cos (α) et que OP = 1, donc l'expression précédente peut être réécrite en fonction du sinus et du cosinus de l'angle:
Sendeux(α) + Cosdeux(α) = 1
Tout comme l'axe X dans le cercle trigonométrique est l'axe cosinus et l'axe Y l'axe sinus, de la même manière il y a l'axe tangent (voir figure 3) qui est précisément la ligne tangente au cercle unité au point B de coordonnées (1, 0).
Si vous voulez connaître la valeur de la tangente d'un angle, vous dessinez l'angle à partir du demi-axe positif du X, l'intersection de l'angle avec l'axe de la tangente définit un point Q, la longueur du segment OQ est la tangente de l'angle.
En effet, par définition, la tangente de l'angle α est la branche opposée QB entre la branche adjacente OB. Autrement dit, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.
L'identité pythagoricienne de la tangente peut être prouvée en considérant le triangle rectangle OBQ en B (figure 3). En appliquant le théorème de Pythagore à ce triangle, nous avons ce BQdeux + OBdeux = OQdeux. Mais on a déjà dit que BQ = Tan (α), que OB = 1 et que OQ = Sec (α), de sorte qu'en substituant dans l'égalité de Pythagore au triangle rectangle OBQ on a:
Doncdeux(α) + 1 = Secdeux(α).
Vérifiez si les identités pythagoriciennes sont remplies ou non dans le triangle rectangle avec les jambes AB = 4 et BC = 3.
Solution: les pattes sont connues, l'hypoténuse doit être déterminée, qui est:
AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.
L'angle ∡BAC sera appelé α, ∡BAC = α. Maintenant, les rapports trigonométriques sont déterminés:
Sen α = BC / AC = 3/5
Cos α = AB / AC = 4/5
Donc α = BC / AB = 3/4
Cotan α = AB / BC = 4/3
Sec α = AC / AB = 5/4
Csc α = AC / BC = 5/3
Cela commence par l'identité trigonométrique fondamentale:
Sendeux(α) + Cosdeux(α) = 1
(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1
Il est conclu qu'il est rempli.
- La prochaine identité pythagoricienne est celle de la tangente:
Doncdeux(α) + 1 = Secdeux(α)
(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2
Et on en conclut que l'identité de la tangente est vérifiée.
- De manière similaire à celle de la cotangente:
1 + Ctgdeux(α) = Cscdeux(α)
1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2
Il est conclu qu'il est également rempli, avec lequel la tâche de vérification des identités pythagoriciennes pour le triangle donné a été accomplie.
Prouvez les identités suivantes, basées sur les définitions des rapports trigonométriques et des identités pythagoriciennes.
Prouvez que Cosdeux x = (1 + Sen x) (1 - Sen x).
Solution: Dans le côté droit, le produit notable de la multiplication d'un binôme par son conjugué est reconnu, ce qui, comme on le sait, est une différence de carrés:
Cosdeux x = 1deux - Sendeux X
Ensuite, le terme avec sinus sur le côté droit passe au côté gauche avec le signe changé:
Cosdeux x + Sendeux x = 1
Notant que l'identité trigonométrique fondamentale a été atteinte, il est donc conclu que l'expression donnée est une identité, c'est-à-dire qu'elle est vraie pour toute valeur de x.
En partant de l'identité trigonométrique fondamentale et en utilisant les définitions des rapports trigonométriques, démontrez l'identité pythagoricienne de la cosécante.
Solution: L'identité fondamentale est:
Sendeux(x) + Cosdeux(x) = 1
Les deux membres sont répartis entre Sendeux(x) et le dénominateur est distribué dans le premier membre:
Sendeux(x) / Sendeux(x) + Cosdeux(x) / Sendeux(x) = 1 / Sendeux(X)
C'est simplifié:
1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2
Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) est une identité (non pythagoricienne) qui est vérifiée par la définition des rapports trigonométriques. La même chose se produit avec l'identité suivante: 1 / Sen (x) = Csc (x).
Enfin, vous devez:
1 + Ctgdeux(x) = Cscdeux(X)
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