le moment cinétique ou le moment cinétique est, pour le mouvement de rotation, ce qu'est le moment linéaire pour le mouvement de translation. C'est une quantité vectorielle qui caractérise la rotation d'une particule ponctuelle ou d'un objet étendu autour d'un axe passant par un point.
Cela signifie que chaque fois que le moment cinétique doit être calculé, l'axe de rotation doit être spécifié de manière appropriée.
En partant d'un point matériel de masse m, le moment cinétique est noté L, élan linéaire comme p et la position de la particule par rapport à un axe passant par un certain point O est r, ensuite:
L = r X p
Les lettres en gras sont réservées aux quantités vectorielles et la croix signifie que le moment cinétique est le produit vectoriel entre le vecteur de position r et le moment linéaire p de la particule. Le vecteur qui résulte d'un produit vectoriel est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs participants.
Cela signifie que la direction et le sens de L peut être trouvée en utilisant la règle de droite pour le produit croisé.
Dans le Système international d'unités SI, les unités de moment cinétique sont kg⋅mdeux/ s, qui n'ont pas de nom spécial. Et pour un corps étendu, qui est composé de nombreuses particules, la définition ci-dessus est commodément étendue.
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La grandeur du vecteur moment cinétique est selon la définition du produit vectoriel:
L = r⋅m⋅v⋅sen ϕ = mv (r⋅sen ϕ) = mvℓ
Où ϕ est l'angle entre les vecteurs r Oui v. Alors ℓ = r sin ϕ est la distance perpendiculaire entre la ligne de v et le point O.
Pour le cas de la particule qui se déplace décrivant la circonférence représentée sur l'image du haut, cet angle est de 90 °, puisque la vitesse est toujours tangente à la circonférence et donc perpendiculaire au rayon..
Par conséquent sin 90º = 1 et la magnitude de L c'est:
L = m⋅r⋅v
Le moment d'inertie d'un corps rigide décrit l'inertie du corps contre la rotation autour d'un certain axe.
Cela dépend non seulement de la masse du corps, mais également de la distance à l'axe de rotation. Ceci est facilement compréhensible quand on pense que pour certains objets, il est plus facile de tourner autour de certains axes que d'autres..
Pour un système de particules, le moment d'inertie, noté I, est donné par:
I = ∑ rjedeux Δmje
Où Δmje est une petite portion de pâte et rje est sa distance par rapport à l'axe de rotation. Un corps étendu est composé de nombreuses particules, donc son moment d'inertie total est la somme de tous les produits entre la masse et la distance, des particules qui le composent..
S'il s'agit d'un corps étendu, la sommation se transforme en intégrale et Δm devient un différentiel de masse dm. Les limites d'intégration dépendent de la géométrie de l'objet:
I = ∫M (rdeux) dm
Le concept de moment d'inertie est étroitement lié au moment cinétique d'un objet étendu, comme nous le verrons ci-dessous.
Considérons un système de particules, composé de masses Δmje qui tourne suivant une circonférence dans le plan xy, chacun a une vitesse linéaire liée à sa vitesse angulaire, cette dernière étant la même pour toutes les particules:
vje = ωrje
Où rje est la distance à l'axe de rotation O. Alors la grandeur du moment cinétique est:
Lje = Δmje. rje. (ωrje) = rjedeuxω Δmje
Le moment cinétique du système sera donné par la somme:
L = ω ∑ rjedeux Δmje
Nous identifions rapidement le moment d'inertie, tel que défini dans la section précédente, et donc la magnitude de son moment cinétique est la suivante:
L = Iω
Comme nous l'avons dit que le système de particules était dans le plan xy, il s'avère que le moment cinétique est dirigé selon l'axe z, perpendiculaire audit plan. Le sens est donné par celui de la rotation: le moment cinétique est positif si la rotation est effectuée dans le sens antihoraire.
Un corps étendu peut être divisé en tranches, chacune avec un moment cinétique donné par L = Iω dirigé le long de l'axe z. Si l'axe de symétrie de l'objet coïncide avec l'axe z, il n'y a pas de problème, car même pour les points qui ne sont pas dans le plan xy, les composantes du moment angulaire perpendiculaires à cet axe s'annulent.
Vectorielle:
L = Jeω
Cette équation est valable pour les objets tridimensionnels qui tournent autour d'un axe de symétrie.
Lorsqu'une force nette agit sur une particule ou un corps, son élan peut changer, et par conséquent son moment angulaire le sera aussi. Pour savoir quand elle varie, nous utilisons la dérivée, qui nous donnera le taux de variation dans le temps, s'il y en a une:
Application de la règle produit pour le dérivé:
Le terme v x mv est nul, puisqu'il est le produit d'un vecteur avec lui-même, et dans le second terme on trouve la force nette F = mà, donc:
Le produit vectoriel r X F n'est rien d'autre que le couple ou le couple net, parfois désigné par la lettre grecque τ ou comment M, toujours en gras, car il s'agit d'une quantité vectorielle. Ainsi, par analogie avec le moment linéaire, le moment cinétique varie tant qu'il y a un couple net ou un couple:
réL/ dt = M
À partir des sections précédentes, nous avons vu que:
réL/ dt = M
Autrement dit, le moment cinétique varie lorsqu'il existe un couple net. S'il n'y a pas de couple net, alors:
réL/ dt = 0 → L c'est constant
En d'autres termes:
Moment angulaire initial = Moment angulaire final
Ce résultat est toujours valable même dans le cas où un corps n'est pas rigide, comme nous le verrons dans les exemples suivants.
Le moment cinétique est une grandeur importante qui se révèle dans de nombreuses situations, ce qui montre à quel point il est universel:
Chaque fois qu'un corps en rotation se contracte, sa vitesse de rotation augmente, ceci est bien connu des patineurs sur glace..
Cela est dû au fait que lorsque les bras et les jambes se contractent, le moment d'inertie I diminue, car la distance entre leurs parties diminue, mais comme le moment cinétique est conservé, pour maintenir le produit Iω constant, la vitesse angulaire doit augmenter.
Ceci est valable non seulement dans le patinage, mais aussi dans les sports et les activités dans lesquels il est nécessaire de faire des virages, comme les plongeurs et les trapézistes dans le cirque..
Les chats parviennent toujours à atterrir à quatre pattes lorsqu'ils tombent. Bien qu'ils n'aient pas d'élan initial, ils s'assurent de tourner rapidement les jambes et la queue pour changer leur inertie rotationnelle et réussir à atterrir sur leurs pieds..
De même, lorsqu'ils manœuvrent, leur moment cinétique est nul, car leur rotation n'est pas continue..
Un frisbee doit être lancé en lui faisant tourner pour qu'il vole, sinon il tombera. En effet, le moment cinétique fourni par le lanceur donne à la rondelle une stabilité suffisante pour se déplacer plus loin dans les airs..
Les balles de baseball, de football, de basket-ball et d'autres sports ont un moment angulaire. Comme ils sont sphériques, ils ont un moment d'inertie et sont tournés pendant le jeu. Puisque le moment d'inertie d'une sphère est:
I = (2/5) MRdeux
Où M est la masse de la balle et R son rayon, le moment d'inertie autour d'un certain axe (fixe) est:
L = (2/5) MRdeuxω
La Lune s'éloigne de la Terre, car la vitesse de rotation de la Terre diminue en raison du frottement entre les grandes masses d'eau et le fond marin.
Le système Terre-Lune conserve son moment cinétique, par conséquent, si la Terre diminue sa contribution, la Lune augmente sa contribution en s'éloignant de la Terre..
Le premier postulat du modèle atomique de Bohr stipule qu'un électron n'occupe que des orbites où le moment cinétique est un multiple entier de h / 2π, où h est la constante de Planck.
Une fine tige d'acier a une masse de 500 g et une longueur de 30 cm. Il tourne autour d'un axe passant par son centre à une vitesse de 300 tours par minute. Déterminer le module de son moment cinétique.
Nous aurons besoin du moment d'inertie de la tige référée à un axe qui passe par son centre. En consultant les tables de moment d'inertie, on constate que:
I = (1/12) MLdeux = (1/12) × 0,5 kg x (30 × 10-deux m)deux = 3,75 × 10-3 kg.mdeux
Puisqu'il s'agit d'un corps allongé, dont nous connaissons la vitesse angulaire, nous utilisons:
L = Iω
Avant de transformer la vitesse angulaire ou la fréquence angulaire ω en radians / s:
ω = (300 tours / minute) × (1 minute / 60 secondes) x (2π radians / tour) = 10 π rad / s
Remplacer:
L = 3,75 x 10-3 kg⋅mdeux × 10 π rad / s = 0,118 kg⋅mdeux / s
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