Deux ou plus sont angles supplémentaires si la somme de ses mesures correspond à la mesure d'un angle droit. La mesure d'un angle droit, également appelé angle plan, est de 180 ° en degrés et de π en radians.
Par exemple, nous constatons que les trois angles intérieurs d'un triangle sont complémentaires, puisque la somme de leurs mesures est de 180 °. Trois angles sont représentés sur la figure 1. De ce qui précède, il s'ensuit que α et β sont complémentaires, car ils sont adjacents et leur somme complète un angle droit.
Toujours dans la même figure, nous avons les angles α et γ qui sont également supplémentaires, car la somme de leurs mesures est égale à la mesure d'un angle plan, soit 180º. On ne peut pas dire que les angles β et γ sont supplémentaires car, comme les deux angles sont obtus, leurs mesures sont supérieures à 90 ° et donc leur somme dépasse 180 °.
Par contre, on peut affirmer que la mesure de l'angle β est égale à la mesure de l'angle γ, puisque si β est supplémentaire à α et γ est supplémentaire à α, alors β = γ = 135º.
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Dans les exemples suivants, il est demandé de trouver les angles inconnus, indiqués par des points d'interrogation sur la figure 2. Ils vont des exemples les plus simples à certains un peu plus élaborés que le lecteur devrait être plus prudent.
Sur la figure, nous avons que les angles adjacents α et 35 ° s'additionnent à un angle plan. Autrement dit, α + 35º = 180º et il est donc vrai que: α = 180º- 35º = 145º.
Puisque β est complémentaire de l'angle de 50 °, il s'ensuit que β = 180 ° - 50 ° = 130 °.
A partir de la figure 2C, on observe la somme suivante: γ + 90 ° + 15 ° = 180 °. Autrement dit, γ est complémentaire de l'angle 105 ° = 90 ° + 15 °. On conclut alors que:
γ = 180 ° - 105 ° = 75 °
Puisque X est supplémentaire à 72 °, il s'ensuit que X = 180 ° - 72 ° = 108 °. De plus Y est complémentaire de X, donc Y = 180º - 108º = 72º.
Et enfin Z est complémentaire à 72º, donc Z = 180º - 72º = 108º.
Les angles δ et 2δ sont supplémentaires, donc δ + 2δ = 180º. Ce qui signifie que 3δ = 180º, ce qui nous permet à son tour d'écrire: δ = 180º / 3 = 60º.
Si nous appelons l'angle entre 100º et 50º U, alors U leur est complémentaire, car on observe que leur somme complète un angle plan.
Il s'ensuit immédiatement que U = 150º. Puisque U est opposé par le sommet à W, alors W = U = 150º.
Trois exercices sont proposés ci-dessous, dans chacun d'eux la valeur des angles A et B en degrés doit être trouvée, pour que les relations montrées dans la figure 3. soient remplies Le concept d'angles supplémentaires est utilisé pour les résoudre tous..
Déterminez les valeurs des angles A et B de la partie I) de la figure 3.
A et B sont supplémentaires, à partir de laquelle nous avons que A + B = 180 degrés, puis l'expression de A et B est substituée en fonction de x, telle qu'elle apparaît dans l'image:
(x + 15) + (5x + 45) = 180
Une équation linéaire du premier ordre est obtenue. Pour le résoudre, les termes sont immédiatement regroupés:
6 x + 60 = 180
En divisant les deux membres par 6, nous avons:
x + 10 = 30
Et finalement en résolvant, il s'ensuit que x vaut 20º.
Il faut maintenant brancher la valeur de x pour trouver les angles demandés. Par conséquent, l'angle A est: A = 20 +15 = 35º.
Et pour sa part, l'angle B est B = 5 * 20 + 45 = 145º.
Trouvez les valeurs des angles A et B de la partie II) de la figure 3.
Puisque A et B sont des angles supplémentaires, nous avons que A + B = 180 degrés. En remplaçant l'expression de A et B en fonction de x donnée dans la partie II) de la figure 3, nous avons:
(-2x + 90) + (8x - 30) = 180
Encore une fois, une équation du premier degré est obtenue, pour laquelle les termes doivent être commodément groupés:
6 x + 60 = 180
En divisant les deux membres par 6, nous avons:
x + 10 = 30
D'où il suit que x vaut 20º.
En d'autres termes, l'angle A = -2 * 20 + 90 = 50º. Alors que l'angle B = 8 * 20 - 30 = 130º.
Déterminez les valeurs des angles A et B de la partie III) de la figure 3 (en vert).
Puisque A et B sont des angles supplémentaires, nous avons que A + B = 180 degrés. Nous devons substituer l'expression de A et B en fonction de x donnée dans la figure 3, à partir de laquelle nous avons:
(5x - 20) + (7x + 80) = 180
12 x + 60 = 180
En divisant les deux membres par 12 pour résoudre la valeur de x, nous avons:
x + 5 = 15
Enfin on constate que x vaut 10 degrés.
Nous procédons maintenant à la substitution pour trouver l'angle A: A = 5 * 10 -20 = 30º. Et pour l'angle B: B = 7 * 10 + 80 = 150º
Deux lignes parallèles coupées par une sécante est une construction géométrique courante dans certains problèmes. Entre ces lignes, 8 angles sont formés comme indiqué sur la figure 4.
Parmi ces 8 angles, certaines paires d'angles sont complémentaires, que nous énumérons ci-dessous:
Par souci d'exhaustivité, les angles égaux les uns aux autres sont également nommés:
En se référant à la figure 4, qui montre les angles entre deux droites parallèles coupées par une sécante, on détermine la valeur de tous les angles en radians, sachant que l'angle A = π / 6 radians.
A et B sont des angles externes supplémentaires donc B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6
A = E = C = H = π / 6
B = F = D = G = 5π / 6
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