le Numéro d'Euler ou numéro e est une constante mathématique bien connue qui apparaît fréquemment dans de nombreuses applications scientifiques et économiques, avec le nombre π et d'autres nombres importants en mathématiques.
Une calculatrice scientifique renvoie la valeur suivante pour le nombre e:
e = 2,718281828 ...
Mais beaucoup plus de décimales sont connues, par exemple:
e = 2,71828182845904523536 ...
Et les ordinateurs modernes ont trouvé des milliards de décimales pour le nombre e.
C'est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il a un nombre infini de décimales sans motif répétitif (la séquence 1828 apparaît deux fois au début et ne se répète plus).
Et cela signifie également que le nombre e ne peut pas être obtenu comme quotient de deux nombres entiers.
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Le numéro et Il a été identifié par le scientifique Jacques Bernoulli en 1683 alors qu'il étudiait le problème de l'intérêt composé, mais auparavant il était apparu indirectement dans les travaux du mathématicien écossais John Napier, qui a inventé les logarithmes vers 1618.
Cependant, c'est Leonhard Euler en 1727 qui lui donne le nom de numéro et étudie intensivement ses propriétés. C'est pourquoi il est également connu sous le nom de Numéro d'Euler et aussi comme base naturelle pour les logarithmes naturels (un exposant) actuellement utilisés.
Le nombre e vaut:
e = 2,71828182845904523536 ...
Les points de suspension signifient qu'il y a un nombre infini de décimales et en fait, avec les ordinateurs d'aujourd'hui, des millions d'entre eux sont connus.
Il existe plusieurs façons de définir e que nous décrivons ci-dessous:
L'une des différentes manières d'exprimer le nombre e est celle que le scientifique Bernoulli a trouvée dans ses travaux sur l'intérêt composé:
Dans lequel vous devez faire la valeur n un très grand nombre.
Il est facile de vérifier, à l'aide d'une calculatrice, que lorsque n est très grande, l'expression précédente tend vers la valeur de et donnée ci-dessus.
Bien sûr, nous pouvons nous demander quelle taille peut-il atteindre n, alors essayons des nombres ronds, comme ceux-ci par exemple:
n = 1 000; 10 000 ou 100 000
Dans le premier cas on obtient e = 2,7169239…. Dans le deuxième e = 2,7181459… et dans le troisième, il est beaucoup plus proche de la valeur de et: 2.7182682. Nous pouvons déjà comprendre qu'avec n = 1000000 ou plus, l'approximation sera encore meilleure.
En langage mathématique, la procédure de fabrication n se rapproche de plus en plus d'une très grande valeur, on l'appelle limite à l'infini et est noté comme ceci:
Pour désigner l'infini, le symbole "∞" est utilisé.
Il est également possible de définir le nombre e grâce à cette opération:
Les chiffres qui apparaissent dans le dénominateur: 1, 2, 6, 24, 120… correspondent à l'opération n!, où:
n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ...
Et par définition 0! = 1.
Il est facile de vérifier que plus il y a d'ajouts ajoutés, plus le nombre est atteint avec précision et.
Faisons quelques tests avec la calculatrice, en ajoutant de plus en plus d'ajouts:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806
Plus il y a de termes ajoutés à la sommation, plus le résultat ressemble et.
Les mathématiciens ont proposé une notation compacte pour ces sommes impliquant de nombreux termes, en utilisant le symbole de sommation Σ:
Cette expression se lit comme suit "somme de n = 0 à l'infini de 1 entre n factorielle".
Le nombre e a une représentation graphique liée à l'aire sous le graphique de la courbe:
y = 1 / x
Lorsque les valeurs de x sont comprises entre 1 et e, cette aire est égale à 1, comme illustré dans la figure suivante:
Certaines des propriétés du nombre e sont:
-C'est irrationnel, en d'autres termes, il ne peut pas être obtenu simplement en divisant deux nombres entiers.
-Le numéro et c'est aussi un nombre transcendant, Qu'est-ce que ça veut dire et n'est la solution d'aucune équation polynomiale.
-Il est lié à quatre autres nombres célèbres dans le domaine des mathématiques, à savoir: π, i, 1 et 0, à travers l'identité d'Euler:
etπi + 1 = 0
-Les appels nombres complexes peut être exprimé par e.
-Il forme la base des logarithmes naturels ou naturels d'aujourd'hui (la définition originale de John Napier diffère quelque peu).
-C'est le seul nombre tel que son logarithme naturel soit égal à 1, soit:
ln e = 1
Le nombre e apparaît très fréquemment dans le domaine des probabilités et des statistiques, apparaissant dans diverses distributions, telles que normale ou gaussienne, de Poisson et autres..
En ingénierie, c'est courant, puisque la fonction exponentielle y = eX elle est présente dans la mécanique et l'électromagnétisme, par exemple. Parmi les nombreuses applications, nous pouvons citer:
-Un câble ou une chaîne qui s'accroche aux extrémités, adopte la forme de la courbe donnée par:
y = (eX + et-X) /deux
-Un condensateur C initialement déchargé, qui est connecté en série à une résistance R et une source de tension V à charger, acquiert une certaine charge Q en fonction du temps t donné par:
Q (t) = CV (1-e-t / RC)
La fonction exponentielle y = A.eBx, à constante A et B, il est utilisé pour modéliser la croissance cellulaire et la croissance bactérienne.
En physique nucléaire, la désintégration radioactive et la détermination de l'âge sont modélisées par datation au radiocarbone.
Dans le calcul des intérêts composés, le nombre e apparaît naturellement.
Supposons que vous ayez une certaine somme d'argent Pou alors, pour l'investir à un taux d'intérêt de i% par an.
Si vous laissez l'argent pendant 1 an, après cette période, vous aurez:
P (1 an) = Pou alors + Pou alors.i = Pou alors (1+ i)
Après une autre année sans y toucher, vous aurez:
P (2 ans) = Pou alors + Pou alors.i + (Pou alors + Pou alors .i) i = Pou alors +2 Pou alors.i + Pou alors.jedeux = Po (1 + i)deux
Et en continuant ainsi en n années:
P = Pou alors (1 + i)n
Rappelons maintenant l'une des définitions de e:
Cela ressemble un peu à l'expression de P, donc il doit y avoir une relation.
Nous allons distribuer le taux d'intérêt nominal je au n périodes de temps, de cette manière le taux d'intérêt composé sera i / n:
P = Pou alors [1+ (i / n)]n
Cette expression ressemble un peu plus à notre limite, mais ce n'est toujours pas exactement la même.
Cependant, après quelques manipulations algébriques, on peut montrer qu'en effectuant ce changement de variable:
h = n / i → i = n / h
Notre argent P devient:
P = Pou alors [1+ (1 / h)]salut = Pou alors [1+ (1 / h)]hje
Et qu'y a-t-il entre les touches, même si c'est écrit avec la lettre h, est égal à l'argument de la limite qui définit le nombre e, manquant seulement en prenant la limite.
Faisons h → ∞, et ce qu'il y a entre les accolades devient le nombre et. Cela ne veut pas dire que nous devons attendre infiniment longtemps pour retirer notre argent.
Si nous regardons de près, en faisant h = n / i et tendant à ∞, ce que nous avons fait est de distribuer le taux d'intérêt en périodes de temps très, très courtes:
i = n / h
C'est appelé composition continue. Dans un tel cas, le montant d'argent est facilement calculé comme ceci:
P = Pou alors .etje
Où i est le taux d'intérêt annuel. Par exemple, en déposant 12 € à 9% par an, par capitalisation continue, après un an vous avez:
P = 12 x e0,09 × 1 € = 13,13 €
Avec un gain de 1,13 €.
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