Les numéros amicaux ou amicaux sont deux entiers naturels a et b dont la somme des diviseurs de l'un d'eux (sans compter le nombre) est égale à l'autre nombre, et la somme des diviseurs de cet autre (sans l'inclure non plus) est égale au premier nombre.
De nombreuses paires de nombres ont été trouvées qui partagent cette curieuse propriété. Ils ne sont pas trop petits, les plus petits sont 220 et 284, découverts il y a plusieurs siècles. Alors, mettons-les comme exemple de ce que signifie cette amitié particulière entre les nombres..
Les diviseurs de 220, non compris 220, sont: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110. De leur côté, les diviseurs de 284, non compris 284, sont: 1, 2 , 4, 71 et 142.
Maintenant, nous ajoutons les diviseurs du premier nombre, qui est 220:
ré1 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
On observe qu'en effet, la somme est 284, le nombre amical.
Ensuite, les diviseurs de 284 sont ajoutés:
rédeux = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Et tu as le premier membre du couple.
Les mathématiciens grecs antiques de l'école de Pythagore, fondée par Pythagore (569-475 avant JC), l'auteur du célèbre théorème du même nom, ont réussi à découvrir cette relation particulière entre ces deux nombres, à laquelle ils ont attribué de nombreuses qualités mystiques..
Ils étaient également connus des mathématiciens islamiques du Moyen Âge, qui ont réussi à déterminer une formule générale pour trouver des nombres amis vers l'an 850 après JC..
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Le mathématicien islamique Thabit Ibn Qurra (826-901) a trouvé un moyen de générer des nombres amicaux. Sean p, quelle Oui r trois nombres premiers, c'est-à-dire des nombres qui n'admettent que 1 et eux-mêmes comme diviseurs.
Lorsque les conditions suivantes sont remplies:
p = 3,2n-1 - 1
q = 3,2n - 1
r = 9,22n-1 - 1
Avec n un nombre supérieur à 1, alors:
a = 2npq et b = 2nr
Ils composent une paire de numéros amicaux. Testons la formule pour n = 2 et voyons quelle paire de nombres amis elle génère:
p = 3,22-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5
q = 3,2deux - 1 = 11
r = 9,22.2-1 - 1 = 71
Ensuite:
a = 2npq = 2deux. 5. 11 = 220
b = 2nr = 2deux. 71 = 284
La formule du mathématicien médiéval fonctionne pour n = 2, puisque ce sont précisément les premiers nombres amis, dont on parlait au début et qui étaient déjà connus au Moyen Âge..
Cependant, le théorème ne fonctionne pas pour tous les nombres amis trouvés jusqu'à présent, uniquement pour n = 2, n = 4 et n = 7.
Des siècles plus tard, le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) a dérivé une nouvelle règle pour trouver des numéros amis, basée sur celle de Thabit Ibn Qurra:
p = (2n-m + 1). deuxm - 1
q = (2n-m + 1). deuxn - 1
r = (2n-m + 1)deux. deuxm + n - 1
Comme toujours, les nombres p, q et r sont premiers, mais maintenant il y a deux exposants entiers: m et n, dont m doit satisfaire la condition suivante:
1 ≤ m ≤ n-1
La paire de nombres amis est formée de la même manière:
a = 2npq
b = 2nr
Si m = n-1, le théorème de Thabit est obtenu à nouveau, mais comme avec le théorème du mathématicien islamique, tous les nombres amis ne satisfont pas à la règle d'Euler. Cependant, avec lui, le nombre de numéros amis connus jusqu'alors a augmenté..
Voici les premières paires d'exposants (m, n) avec lesquelles trouver des nombres amis:
(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) et (29,40)
Plus tard, dans la section exercices, nous trouverons la paire de nombres amis qui se forme grâce aux exposants (3,4) de la règle d'Euler.
-220 et 284
-1184 et 1210
-2620 et 2924
-5020 et 5564
-6232 et 6368
-10 744 et 10 856
-12285 et 14595
-17,296 et 18,416
Bien sûr, par ordinateur, vous pouvez générer beaucoup plus de paires de numéros amis.
Nous allons voir maintenant comment trouver les diviseurs d'un nombre, pour vérifier s'ils sont amis. Selon la définition des nombres amis, tous les diviseurs de chaque participant sont nécessaires pour pouvoir les additionner, sauf les nombres eux-mêmes.
Désormais, les nombres naturels peuvent être divisés en deux groupes: les nombres premiers et les nombres composés..
Les nombres premiers n'admettent que 1 et eux-mêmes comme diviseurs exacts. Et les nombres composés, pour leur part, peuvent toujours être exprimés comme le produit des nombres premiers et avoir d'autres diviseurs, à part 1 et eux-mêmes..
Tout nombre composé N, tel que 220 ou 284, peut être exprimé de cette manière:
N = an . bm. cp... rk
Où a, b, c… r sont des nombres premiers et n, m, p… k sont des exposants appartenant aux nombres naturels, qui peuvent être à partir de 1.
En termes de ces exposants, il existe une formule pour savoir combien (mais pas quels) diviseurs le nombre N a. Soit C cette quantité:
C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)
Une fois que le nombre N est exprimé en produits de nombres premiers et que l'on sait combien de diviseurs il comporte, nous avons déjà les outils pour savoir quels sont ses diviseurs, tous deux premiers et non premiers. Et c'est qu'il faut tous les connaître pour vérifier s'ils sont amis, sauf le dernier, qui est le numéro lui-même.
Trouver tous les diviseurs de la paire de nombres amis 220 et 284.
Trouvons d'abord les diviseurs premiers de 220, qui est un nombre composé:
220 │2
110 │2
55 │5
11-11
1 │
La factorisation première de 220 est:
220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2deux.5. 11
Donc n = 2, m = 1, p = 1 et a:
C = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 diviseurs
Les premiers diviseurs qui sont remarqués lorsque le nombre est décomposé sont: 1, deux, 4, 5 Oui Onze. Et ils sont aussi 110 Oui 55.
Il leur en manquerait 5, qui fabriquent des produits entre les cousins et leurs combinaisons: 2deux.5 = vingt; deuxdeux.11 = 44; 2. 11 = 22 et enfin le 1 et le sien 220.
Une procédure analogue est suivie pour 284:
284 │2
142 │2
71-71
1 │
284 = 2deux. 71
C = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 diviseurs
Ces diviseurs sont: 1, 2, 4, 71, 142 et 284, comme dit au début.
La vérification de la formule d'Euler pour n = 4 et m = 3 génère le triple des nombres premiers (p, q, r) = (23,47, 1151). Quelle est la paire de numéros amis formés avec eux?
Les nombres premiers p, q et r sont calculés par:
p = (2n-m + 1). deuxm - 1
q = (2n-m + 1). deuxn - 1
r = (2n-m + 1)deux. deuxm + n - 1
En substituant les valeurs de m = 3 et n = 4, on obtient:
p = (24-3 + 1). deux3 - 1 = 23
q = (24-3 + 1). deux4 - 1 = 47
r = (24-3 + 1)deux. deux4 + 3 - 1 = 1151
Maintenant, nous appliquons la formule pour trouver la paire de nombres amis a et b:
a = 2npq
b = 2nr
a = 2npq = 16. 23. 47 = 17.296
b = 2nr = 16. 1151 = 18.416
Et en effet, ils font partie de la liste des premières paires de numéros amis que nous avons montrées précédemment.
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