le vagues stationnaires Ce sont des ondes qui se propagent dans un milieu limité, allant et venant dans une partie de l'espace, contrairement aux ondes progressives, qui, lorsqu'elles se propagent, s'éloignent de la source qui les a engendrées et n'y reviennent pas..
Ils sont à la base des sons produits dans les instruments de musique, car ils apparaissent facilement dans les cordes fixes, soit à une extrémité, soit aux deux. Ils sont également créés dans des membranes étanches telles que des tambours ou à l'intérieur de tubes et de structures telles que des ponts et des bâtiments..
Lorsque vous avez une corde fixe aux deux extrémités, comme celle d'une guitare, par exemple, des ondes avec une amplitude et une fréquence identiques sont créées, qui se déplacent dans des directions opposées et se combinent pour produire un phénomène appelé ingérence.
Si les ondes sont en phase, les pics et les vallées sont alignés et aboutissent à une onde avec deux fois l'amplitude. Dans ce cas, on parle d'interférence constructive.
Mais si les ondes parasites sont déphasées, les pics de l'un rencontrent les vallées des autres et l'amplitude qui en résulte est nulle. Il s'agit alors d'interférences destructrices.
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Les principaux éléments de l'onde pour la représenter dans l'espace et dans le temps sont son amplitude A, sa longueur d'onde λ et sa fréquence angulaire ω.
Dans la représentation mathématique, il est préférable d'utiliser k, plutôt que le numéro d'onde ou le nombre de fois que la vague se produit par unité de longueur. C'est pourquoi il est défini par la longueur d'onde λ qui est la distance entre deux vallées ou deux crêtes:
k = 2π / λ
Tandis que le fréquence angulaire se rapporte à la période ou à la durée d'une oscillation complète, telle que:
ω = 2π / T
Et aussi la fréquence f est donnée par:
f = ω / 2π
Donc:
f = 1 / T
Aussi les vagues se déplacent avec vitesse v selon:
v = λ.f
Mathématiquement, nous pouvons exprimer une onde en utilisant la fonction sinus ou la fonction cosinus. Supposons que nous ayons des ondes d'amplitude A égale, de longueur d'onde λ et de fréquence ω, se propageant le long d'une corde et dans des directions opposées:
Oui1 = Un péché (kx - ωt)
Ouideux = Un péché (kx + ωt)
En les ajoutant, nous trouvons la vague résultante etR:
OuiR = et1 + Ouideux = Un sin (kx - ωt) + Un sin (kx + ωt)
Il existe une identité trigonométrique pour trouver la somme:
sin α + sin β = 2 sin (α + β) / 2. cos (α - β) / 2
Par cette identité, la vague résultante yR restes:
OuiR = [2A sin kx]. cos ωt
L'onde résultante a une amplitude AR = 2Asen kx, qui dépend de la position de la particule. Alors, aux points pour lesquels sin kx = 0, l'amplitude de l'onde s'évanouit, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de vibration.
Ces points sont:
kx = π, 2π, 3π…
Puisque k = 2 π / λ:
(2 π / λ) x = π, 2π, 3π…
x = λ / 2, λ, 3λ / 2 ...
Une interférence destructrice se produit à de tels points et est appelée nœuds. Ils sont séparés par une distance égale à λ / 2, comme déduit du résultat précédent.
Et entre deux nœuds consécutifs se trouvent les antinœuds ou ventres, dans laquelle l'amplitude de l'onde est maximale, car une interférence constructive s'y produit. Ils surviennent lorsque:
sin kx = ± 1
kx = ± π / 2, 3π / 2, 5π / 2…
Encore une fois k = 2 π / λ et alors:
x = λ / 4, 3λ / 4, 5λ / 4,…
Les conditions aux limites dans la corde déterminent à quoi ressemblent les longueurs d'onde et les fréquences. Si une chaîne de longueur L est fixée aux deux extrémités, elle ne peut vibrer avec aucune fréquence, car les points où la chaîne est fixée sont déjà des nœuds.
Además la separación entre nodos adyacentes es λ/2, y entre nodo y vientre es λ/4, de esta manera solamente para ciertas longitudes de onda se producen ondas estacionarias: aquellas en las que se ajusta un número entero n de λ/2 dentro du:
(λ / 2) = L, avec n = 1, 2, 3, 4 ... .
Donc:
λ = 2L / n
Les différentes valeurs prises par λ sont appelées harmoniques. Ainsi nous avons:
-Première harmonique: λ = 2L
-Deuxième harmonique: λ = L
-Troisième harmonique: λ = 2 L / 3
-Quatrième harmonique: λ = L / 2
Et ainsi de suite.
Même si l'onde stationnaire ne semble pas bouger, l'équation est toujours valable:
v = λ. F
Donc:
v = (2L / n). F
f = nv / 2L
Or, on peut montrer que la vitesse à laquelle une onde se déplace dans une corde dépend de la tension T qu'elle contient et de sa densité linéaire de masse μ (masse par unité de longueur) comme:
Donc:
-Lorsque les ondes sont stationnaires, l'onde résultante ne se propage pas de la même manière que ses composantes, qui vont d'un côté à l'autre. Il y a des points où y = 0 car il n'y a pas de vibration: les nœuds, en d'autres termes, l'amplitude AR ça devient nul.
-L'expression mathématique d'une onde stationnaire consiste en le produit d'une partie spatiale (qui dépend de la coordonnée x ou des coordonnées spatiales) et d'une partie temporelle.
-Entre les nœuds, l'onde noire résultante oscille à un endroit, tandis que les ondes allant d'un côté à l'autre y sont déphasées..
-L'énergie n'est pas transportée directement aux nœuds, car elle est proportionnelle au carré de l'amplitude, mais elle est piégée entre les nœuds.
-La distance entre les nœuds adjacents est la moitié de la longueur d'onde.
-Les points auxquels l'accord est fixé sont également considérés comme des nœuds..
Les ondes dans une chaîne fixe sont des exemples d'ondes stationnaires dans une dimension, dont nous avons proposé la description mathématique dans les sections précédentes..
Les ondes stationnaires peuvent également être présentées en deux et trois dimensions, leur description mathématique étant un peu plus complexe.
-Une corde fixée à une extrémité qui oscille à la main ou avec un piston à l'autre génère des ondes stationnaires sur sa longueur.
-Jouer des instruments à cordes tels que la guitare, la harpe, le violon et le piano crée également des ondes stationnaires, car ils ont des cordes ajustées à différentes tensions et fixées aux deux extrémités..
Les ondes stationnaires sont également créées dans des tubes avec de l'air, tels que des tubes d'orgue..
Les ondes stationnaires se produisent dans les structures telles que les ponts et les bâtiments. Un cas notable est celui du pont suspendu de Tacoma Narrows près de la ville de Seattle, aux États-Unis. Peu de temps après avoir été inauguré en 1940, ce pont s'est effondré à cause des vagues stationnaires créées à l'intérieur par le vent..
La fréquence du vent était associée à la fréquence naturelle du pont, créant des ondes stationnaires, dont l'amplitude augmentait jusqu'à l'effondrement du pont. Le phénomène est connu sous le nom de résonance.
Dans les ports, il y a un phénomène très curieux appelé seiche, dans lequel les vagues de la mer produisent de grandes oscillations. Cela est dû au fait que les eaux du port sont assez fermées, bien que les eaux océaniques pénètrent de temps en temps par l'entrée du port..
Les eaux portuaires se déplacent avec leur propre fréquence, tout comme celles de l'océan. Si les deux eaux égalent leurs fréquences, une grande onde stationnaire est produite par résonance, comme cela s'est produit avec le pont de Tacoma..
Les seiches Ils peuvent également se produire dans les lacs, les réservoirs, les piscines et autres plans d'eau limités en surface..
Des vagues stationnaires peuvent être créées dans un aquarium porté par une personne, si la fréquence à laquelle la personne marche est égale à la fréquence du balancement de l'eau.
Une corde de guitare a L = 0,9 m et une densité de masse linéaire μ = 0,005 kg / m. Il est soumis à 72 N de tension et son mode de vibration est celui représenté sur la figure, avec une amplitude 2A = 0,5 cm.
Trouve:
a) Vitesse de propagation
b) Fréquence des ondes
c) L'équation d'onde stationnaire correspondante.
À travers:
Est obtenu;
v = [72 N / (0,005 kg / m)]1/2 = 120 m / s.
La distance entre deux nœuds adjacents est λ / 2, donc:
(2/3) L - (1/3) L = λ / 2
(1/3) L = λ / 2
λ = 2L / 3 = 2 x 0,90 m / 3 = 0,60 m.
Puisque v = λ.f
f = (120 m / s) / 0,60 m = 200 s-1= 200 Hz.
L'équation est:
OuiR = [2A sin kx]. cos ωt
Nous devons substituer les valeurs:
k = 2π / λ = k = 2π / 0,60 m = 10 π / 3
f = ω / 2π
ω = 2π x 200 Hz = 400 π Hz.
L'amplitude 2A est déjà donnée par l'énoncé:
2A = 0,5 cm = 5 x 10 -3 m.
Donc:
OuiR = 5 x 10 -3 m. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt) =
= 0,5 cm. sin [(10π / 3) x]. cos (400πt)
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