UNE paraboloïde hyperbolique est une surface dont l'équation générale en coordonnées cartésiennes (x, y, z) remplit l'équation suivante:
(pour)deux - (et B)deux - z = 0.
Le nom "paraboloïde" vient du fait que la variable z dépend des carrés des variables x et y. Alors que l'adjectif «hyperbolique» est dû au fait qu'à des valeurs fixes de z nous avons l'équation d'une hyperbole. La forme de cette surface est similaire à celle d'une selle de cheval.
Index des articles
Pour comprendre la nature du paraboloïde hyperbolique, l'analyse suivante sera faite:
1.- Nous prendrons le cas particulier a = 1, b = 1, c'est-à-dire que l'équation cartésienne du paraboloïde reste comme z = xdeux - Ouideux.
2.- Les plans parallèles au plan ZX sont considérés, c'est-à-dire y = ctte.
3.- Avec y = ctte il reste z = xdeux - C, qui représentent des paraboles avec des branches vers le haut et un sommet sous le plan XY.
4.- Avec x = ctte il reste z = C - ydeux, qui représentent des paraboles avec des branches vers le bas et un sommet au-dessus du plan XY.
5.- Avec z = ctte il reste C = xdeux - Ouideux, qui représentent des hyperboles dans des plans parallèles au plan XY. Lorsque C = 0, il y a deux lignes (à + 45º et -45º par rapport à l'axe X) qui se coupent à l'origine sur le plan XY.
1.- Quatre points différents dans l'espace tridimensionnel définissent un et un seul paraboloïde hyperbolique.
2.- Le paraboloïde hyperbolique est un surface à double règle. Cela signifie que bien qu'il s'agisse d'une surface courbe, deux lignes différentes passent par chaque point d'un paraboloïde hyperbolique qui appartiennent totalement au paraboloïde hyperbolique. L'autre surface qui n'est pas un plan et qui est doublement réglée est la hyperboloïde de révolution.
C'est précisément la deuxième propriété du paraboloïde hyperbolique qui a permis sa large utilisation en architecture puisque la surface peut être générée à partir de poutres ou de cordes droites..
La deuxième propriété du paraboloïde hyperbolique permet une définition alternative de celui-ci: est la surface qui peut être générée par une ligne droite mobile parallèle à un plan fixe et coupe deux lignes fixes qui servent de guide. La figure suivante clarifie cette définition alternative du paraboloïde hyperbolique:
Montrez que l'équation: z = xy, correspond à un paraboloïde hyperbolique.
Une transformation sera appliquée aux variables x et y correspondant à une rotation des axes cartésiens par rapport à l'axe Z de + 45º. Les anciennes coordonnées x et y sont transformées en les nouveaux x 'et y' selon les relations suivantes:
x = x '- y'
y = x '+ y'
tandis que la coordonnée z reste la même, c'est-à-dire z = z '.
En substituant dans l'équation z = x et nous avons:
z '= (x' - y ') (x' + y ')
En appliquant le produit notable de la différence par la somme égale à la différence des carrés, on a:
z '= x'deux - Y 'deux
qui correspond clairement à la définition initialement donnée du paraboloïde hyperbolique.
L'interception des plans parallèles à l'axe XY avec le paraboloïde hyperbolique z = x et déterminer les hyperboles équilatérales qui ont pour asymptotes les plans x = 0 et y = 0.
Déterminez les paramètres à Oui b du paraboloïde hyperbolique passant par les points A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) et D (2, -1, 32/9).
Selon ses propriétés, quatre points dans l'espace tridimensionnel déterminent un seul paraboloïde hyperbolique. L'équation générale est:
z = (x / a)deux - (et B)deux
Nous substituons les valeurs données:
Pour le point A, nous avons 0 = (0 / a)deux - (0 / b)deux, équation satisfaite quelles que soient les valeurs des paramètres a et b.
En substituant le point B, on obtient:
5/9 = 1 / adeux - 1 Bdeux
Alors que pour le point C il reste:
32/9 = 4 / adeux - 1 Bdeux
Enfin, pour le point D on obtient:
32/9 = 4 / adeux - 1 Bdeux
Ce qui est identique à l'équation précédente. En fin de compte, le système d'équations doit être résolu:
5/9 = 1 / adeux - 1 Bdeux
32/9 = 4 / adeux - 1 Bdeux
La soustraction de la deuxième équation de la première donne:
27/9 = 3 / adeux ce qui implique qu'undeux = 1.
De même, la deuxième équation est soustraite du quadruple de la première, obtenant:
(32-20) / 9 = 4 / adeux - 4 / adeux -1 Bdeux + 4 / bdeux
Ce qui est simplifié comme:
12/9 = 3 / bdeux ⇒ bdeux = 9/4.
En bref, le paraboloïde hyperbolique qui passe par les points A, B, C et D donnés a une équation cartésienne donnée par:
z = xdeux - (4/9) etdeux
Selon les propriétés du paraboloïde hyperbolique, deux lignes passent par chaque point qui y sont complètement contenues. Pour le cas z = x ^ 2 - y ^ 2 trouver l'équation des deux droites qui passent par le point P (0, 1, -1) appartenant clairement au paraboloïde hyperbolique, de sorte que tous les points de ces droites appartiennent également au même.
En utilisant le produit remarquable de la différence des carrés, l'équation du paraboloïde hyperbolique peut être écrite comme ceci:
(x + y) (x - y) = c z (1 / c)
Où c est une constante non nulle.
L'équation x + y = c z et l'équation x - y = 1 / c correspondent à deux plans avec des vecteurs normaux n=<1,1,-c> Oui m=<1,-1,0>. Le produit vectoriel m x n =<-c, -c, -2> nous donne la direction de la ligne d'intersection des deux plans. Alors l'une des droites qui passe par le point P et appartient au paraboloïde hyperbolique a une équation paramétrique:
Pour déterminer c, nous substituons le point P dans l'équation x + y = c z, obtenant:
c = -1
De la même manière, mais en considérant les équations (x - y = k z) et (x + y = 1 / k), nous avons l'équation paramétrique de la droite:
En résumé, les deux lignes:
Ils sont complètement contenus dans le paraboloïde hyperbolique z = xdeux - Ouideux passant par le point (0, 1, -1).
Pour vérifier, supposons t = 1 ce qui nous donne le point (1,2, -3) sur la première ligne. Vous devez vérifier s'il est également sur le paraboloïde z = xdeux - Ouideux:
-3 = 1deux - deuxdeux = 1 - 4 = -3
Ce qui confirme qu'il appartient bien à la surface du paraboloïde hyperbolique.
Le paraboloïde hyperbolique a été utilisé en architecture par les grands architectes d'avant-garde, parmi lesquels se distinguent les noms de l'architecte espagnol Antoni Gaudí (1852-1926) et tout particulièrement de l'Espagnol Félix Candela (1910-1997)..
Voici quelques travaux basés sur le paraboloïde hyperbolique:
-Chapelle de la ville de Cuernavaca (Mexique) oeuvre de l'architecte Félix Candela.
-L'Océanographique de Valence (Espagne), également de Félix Candela.
Personne n'a encore commenté ce post.