La probabilité théorique (ou Laplace) qu'un événement E se produit qui appartient à un espace échantillon S, dans lequel tous les événements ont la même probabilité d'occurrence, est défini en notation mathématique comme: P (E) = n (E) / N (S)
Où P (E) est la probabilité, donnée comme le quotient entre le nombre total de résultats possibles de l'événement E, que nous appelons n (E), divisé par le nombre total N (S) de résultats possibles dans l'espace d'échantillonnage S.
La probabilité théorique est un nombre réel compris entre 0 et 1, mais elle est souvent exprimée en pourcentage, auquel cas la probabilité sera une valeur comprise entre 0% et 100%.
Le calcul de la probabilité qu'un événement se produise est très important dans de nombreux domaines, tels que le commerce, les compagnies d'assurance, les jeux d'argent et bien d'autres..
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Un cas illustratif est le cas des tirages au sort ou des loteries. Supposons que 1000 billets soient émis pour tirer au sort un smartphone. Comme le tirage est effectué au hasard, tous les billets ont une chance égale d'être un gagnant.
Pour trouver la probabilité qu'une personne qui achète un billet avec le numéro 81 soit un gagnant, le calcul suivant de probabilité théorique:
P (1) = 1/1 000 = 0,001 = 0,1%
Le résultat précédent est interprété comme suit: si le tirage était répété une infinité de fois, toutes les 1000 fois le ticket 81 serait sélectionné, en moyenne, une fois.
Si, pour une raison quelconque, quelqu'un acquiert tous les billets, il est certain qu'il gagnera le prix. La probabilité de gagner le prix si vous avez tous les billets est calculée comme suit:
P (1 000) = 1 000/1 000 = 1 = 100%.
Autrement dit, cette probabilité 1 ou 100% signifie qu'il est totalement certain que ce résultat se produira..
Si quelqu'un possède 500 billets, les chances de gagner ou de perdre sont les mêmes. La probabilité théorique de gagner le prix dans ce cas est calculée comme suit:
P (500) = 500/1 000 = ½ = 0,5 = 50%.
Celui qui n'achète aucun billet n'a aucune chance de gagner et sa probabilité théorique est déterminée comme suit:
P (0) = 0/1 000 = 0 = 0%
Vous avez une pièce avec visage d'un côté et bouclier ou timbre sur l'autre. Lorsque la pièce est lancée, quelle est la probabilité théorique qu'elle fasse face??
P (visage) = n (visage) / N ( visage + écran ) = ½ = 0,5 = 50%
Le résultat est interprété comme suit: si un grand nombre de lancers étaient effectués, en moyenne tous les 2 lancers l'un d'entre eux se retrouverait face à face.
En termes de pourcentage, l'interprétation du résultat est que l'exécution d'un nombre infiniment grand de lancers, en moyenne sur 100 d'entre eux 50 se traduirait par des têtes.
Dans une boîte, il y a 3 billes bleues, 2 billes rouges et 1 verte. Quelle est la probabilité théorique que lorsque vous sortez une bille de la boîte, elle soit rouge?
La probabilité qu'il apparaisse en rouge est:
P (rouge) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles
C'est-à-dire:
P (rouge) = nombre de billes rouges / nombre total de billes
Enfin, la probabilité qu'une bille rouge soit dessinée est:
P (rouge) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%
Alors que la probabilité que lors du dessin d'une bille verte est:
P (vert) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%
Enfin, la probabilité théorique d'obtenir une bille bleue lors d'une extraction à l'aveugle est:
P (bleu) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%
Autrement dit, pour toutes les 2 tentatives, le résultat sera bleu dans l'une d'elles et une autre couleur dans une autre tentative, en partant du principe que le marbre extrait est remplacé et que le nombre d'essais est très, très grand..
Déterminer la probabilité que lors du lancement d'un dé, une valeur inférieure ou égale à 4 soit obtenue.
Pour calculer la probabilité que cet événement se produise, la définition de la probabilité théorique sera appliquée:
P (≤4) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles
P (≤5) = 5/6 = = 83,33%
Trouvez la probabilité que sur deux lancers consécutifs d'un dé normal à six faces, 5 lancera 2 fois.
Pour répondre à cet exercice, il est pratique de faire un tableau pour montrer toutes les possibilités. Le premier chiffre indique le résultat du premier dé et le second le résultat de l'autre.
Pour calculer la probabilité théorique, nous devons connaître le nombre total de cas possibles, dans ce cas, comme le montre le tableau précédent, il y a 36 possibilités.
En observant également le tableau, on peut en déduire que le nombre de cas favorables à l'événement qui dans les deux lancements consécutifs sort 5 est seulement de 1, mis en évidence avec de la couleur, donc la probabilité que cet événement se produise est:
P (5 x 5) = 1/36.
Ce résultat aurait également pu être atteint en utilisant l'une des propriétés de la probabilité théorique, qui stipule que la probabilité combinée de deux événements indépendants est le produit de leurs probabilités individuelles..
Dans ce cas, la probabilité que le premier tirage au sort lancera 5 est ⅙. Le second tirage au sort est complètement indépendant du premier, donc la probabilité que 5 soit lancé dans le second est également ⅙. La probabilité combinée est donc:
P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.
Trouvez la probabilité qu'un nombre inférieur à 2 soit obtenu au premier tirage au sort et qu'un nombre supérieur à 2 soit obtenu au second.
Encore une fois, un tableau des événements possibles doit être construit, où ceux dans lesquels le premier lancer était inférieur à 2 et dans le second supérieur à 2 sont mis en évidence..
Au total, il y a 4 possibilités sur un total de 36. Autrement dit, la probabilité de cet événement est:
P (<2 ; >2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%
En utilisant le théorème de probabilité qui stipule:
La probabilité d'occurrence de deux événements indépendants est égale au produit des probabilités individuelles.
Le même résultat est obtenu:
P (<2) P(>2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%
La valeur obtenue avec cette procédure coïncide avec le résultat précédent, à travers la définition théorique ou classique de la probabilité.
Quelle est la probabilité qu'en lançant deux dés, la somme des valeurs soit de 7.
Pour trouver la solution dans ce cas, un tableau des possibilités a été établi dans lequel les cas qui remplissent la condition que la somme des valeurs soit 7 ont été indiqués en couleur.
En regardant le tableau, 6 cas possibles peuvent être comptés, donc la probabilité est:
P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%
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