La programmation non linéaire est le processus d'optimisation d'une fonction qui dépend de plusieurs variables indépendantes, qui à leur tour sont soumises à des restrictions.
Si une ou plusieurs des contraintes, ou si la fonction à maximiser ou minimiser (appelée Objectif Fonction), il n'est pas exprimé comme une combinaison linéaire des variables, nous avons donc un problème de programmation non linéaire.
Et donc les procédures et méthodes de programmation linéaire ne peuvent pas être utilisées.
Par exemple, la méthode bien connue ne peut pas être utilisée Simplex, qui ne s'applique que lorsque la fonction objectif et les contraintes sont toutes une combinaison linéaire des variables du problème.
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Pour les problèmes de programmation non linéaire, les principales méthodes à utiliser sont:
1.- Méthodes graphiques.
2.- Multiplicateurs de Lagrange pour explorer la limite de la région de solution.
3.- Calcul du gradient pour explorer les extrêmes de la fonction objectif.
4.- La méthode des étapes descendantes, pour trouver les points de gradient nuls.
5.- Méthode modifiée des multiplicateurs de Lagrange (avec la condition de Karush-Kuhn-Tucker).
Un exemple de solution avec la méthode graphique est celle que l'on peut voir sur la figure 2:
Le profit G d'une certaine entreprise dépend de la quantité vendue du produit X et de la quantité vendue du produit Y, en outre, le profit est déterminé par la formule suivante:
G = 2 (X - 2)deux + 3 (ET - 3)deux
Les montants X et Y sont connus pour avoir les restrictions suivantes:
X≥0; Y≥0 et X + Y ≤ 7
Déterminez les valeurs de X et Y qui produisent le gain maximum.
Dans ce problème, la fonction objectif est non linéaire, tandis que les inégalités qui définissent les contraintes le sont. C'est un problème de programmation non linéaire.
Pour la solution de ce problème, la méthode graphique sera choisie.
Tout d'abord, la région de solution sera déterminée, qui est donnée par les contraintes.
Comme X≥0; Y≥0, la solution doit être trouvée dans le premier quadrant du plan XY, mais comme il doit également être vrai que X + Y ≤ 7, la solution est dans le demi-plan inférieur de la droite X + Y = 7.
La région de solution est l'intersection du premier quadrant avec le demi-plan inférieur de la ligne, ce qui donne lieu à une région triangulaire où la solution est trouvée. C'est le même que celui indiqué sur la figure 1.
Par contre, le gain G peut aussi être représenté dans le plan cartésien, puisque son équation est celle d'une ellipse de centre (2,3).
L'ellipse est représentée sur la figure 1 pour différentes valeurs de G. Plus la valeur de G est élevée, plus le gain est important..
Il existe des solutions qui appartiennent à la région, mais ne donnent pas la valeur G maximale, tandis que d'autres, comme G = 92,4, sont en dehors de la zone verte, c'est-à-dire la zone de solution.
Alors, la valeur maximale de G, telle que X et Y appartiennent à la région de solution, correspond à:
G = 77 (gain maximum), qui est donné pour X = 7 et Y = 0.
Fait intéressant, le profit maximum se produit lorsque le montant des ventes du produit Y est égal à zéro, tandis que la quantité de produit X atteint sa valeur la plus élevée possible..
Trouvez la solution (x, y) qui rend la fonction f (x, y) = xdeux + 2 etdeux être maximum dans la région g (x, y) = xdeux + Ouideux - 1 = 0.
Il s'agit clairement d'un problème de programmation non linéaire, car la fonction objectif f (x, y) et la restriction g (x, y) = 0, ne sont pas une combinaison linéaire des variables x et y.
La méthode des multiplicateurs de Lagrange sera utilisée, ce qui nécessite d'abord de définir la fonction de Lagrange L (x, y, λ):
L (x, y, λ) = f (x, y) - λ g (x, y) = xdeux + 2 etdeux - λ (xdeux + Ouideux - 1)
Où λ est un paramètre nommé Multiplicateur de Lagrange.
Pour déterminer les valeurs extrêmes de la fonction objectif f, dans la région de solution donnée par la restriction g (x, y) = 0, procédez comme suit:
-Trouver les dérivées partielles de la fonction de Lagrange L, par rapport à x, y, λ.
-Mettre chaque dérivée à zéro.
Voici la séquence de ces opérations:
Une solution possible de ce système est λ = 1 pour que la première équation soit satisfaite, auquel cas y = 0 pour que la seconde soit satisfaite.
Cette solution implique que x = 1 ou x = -1 pour que la troisième équation soit satisfaite. De cette manière, deux solutions S1 et S2 ont été obtenues:
S1: (x = 1, y = 0)
S2: (x = -1, y = 0).
L'autre alternative est que λ = 2 pour que la deuxième équation soit satisfaite, quelle que soit la valeur y.
Dans ce cas, la seule façon de satisfaire la première équation est que x = 0. En considérant la troisième équation, il n'y a que deux solutions possibles, que nous appellerons S3 et S4:
S3: (x = 0, y = 1)
S4: (x = 0, y = -1)
Pour savoir laquelle ou laquelle de ces solutions maximise la fonction objectif, nous procédons à la substitution dans f (x, y):
S1: f (1, 0) = 1deux + 2,0deux = 1
S2: f (-1, 0) = (-1)deux + 2,0deux = 1
S3: f (0, 1) = 0deux + 2,1deux = 2
S4: f (0, -1) = 0deux + vingt-et-un)deux = 2
Nous concluons que les solutions qui maximisent f, lorsque x et y appartiennent à la circonférence g (x, y) = 0 sont S3 et S4.
Les paires de valeurs (x = 0, y = 1) et (x = 0, y = -1) maximisent f (x, y) dans la région de solution g (x, y) = 0.
Trouvez des solutions (x, y) pour la fonction objectif:
f (x, y) = xdeux + 2 etdeux
Soit maximum dans la région g (x, y) = xdeux + Ouideux - 1 ≤ 0.
Cet exercice est similaire à l'exercice 2, mais la région de solution (ou de restriction) s'étend à la région intérieure de la circonférence g (x, y) = 0, c'est-à-dire au cercle g (x, y) ≤ 0. Cela comprend à la circonférence et à sa région intérieure.
La solution à la frontière a déjà été déterminée dans l'exercice 2, mais la région de l'intérieur reste à explorer.
Pour ce faire, le gradient de la fonction f (x, y) doit être calculé et mis à zéro, pour trouver des valeurs extrêmes dans la région de solution. Cela équivaut à calculer les dérivées partielles de f par rapport à x et y respectivement et à fixer égal à zéro:
∂f / ∂x = 2 x = 0
∂f / ∂y = 4 y = 0
Ce système d'équations a pour seule solution (x = 0, y = 0) qui appartient au cercle g (x, y) ≤ 0.
La substitution de cette valeur dans la fonction f entraîne:
f (0, 0) = 0
En conclusion, la valeur maximale que prend la fonction dans la région de solution est 2 et se produit à la limite de la région de solution, pour les valeurs (x = 0, y = 1) et (x = 0, y = -1 ).
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