Les points coplanaires ils appartiennent tous au même plan. Deux points sont toujours coplanaires, puisque ces points définissent une ligne par laquelle passent des plans infinis. Ensuite, les deux points appartiennent à chacun des plans qui passent par la ligne et par conséquent, ils seront toujours coplanaires.
Par contre, trois points définissent un seul plan, d'où il résulte que trois points seront toujours coplanaires au plan qu'ils déterminent..
Plus de trois points peuvent être coplanaires ou non. Par exemple, dans la figure 1, les points A, B, C et D sont coplanaires au plan (Ω). Mais E, F et G ne sont pas coplanaires à (Ω), bien qu'ils soient coplanaires au plan qu'ils définissent.
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L'équation d'un plan déterminé par trois points connus A, B, C est une relation mathématique qui garantit que tout point P de coordonnées génériques (x, y, z) qui remplit l'équation appartient audit plan.
L'énoncé précédent équivaut à dire que si P de coordonnées (x, y, z) remplit l'équation du plan, alors ledit point sera coplanaire avec les trois points A, B, C qui ont déterminé le plan.
Pour trouver l'équation de ce plan, commençons par trouver les vecteurs UN B Oui AC:
UN B = [Bx - Axe, Par - Ay, Bz - Az]
AC = [Cx - Axe, Cy - Ay, Cz - Az]
Le produit vectoriel UN B X AC donne un vecteur perpendiculaire ou normal au plan déterminé par les points A, B, C.
Tout point P de coordonnées (x, y, z) appartient au plan si le vecteur AP est perpendiculaire au vecteur UN B X AC, ce qui est garanti si:
AP • (AB X AC) = 0
Cela revient à dire que le triple produit de AP, UN B Oui AC est nul. L'équation ci-dessus peut être écrite sous forme matricielle:
Soit les points A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) et D (à, 0, 1). Quelle valeur devrait-il avoir à pour que les quatre points soient coplanaires?
Pour trouver la valeur de a, le point D doit faire partie du plan déterminé par A, B et C, ce qui est garanti s'il satisfait l'équation du plan.
Développer le déterminant que nous avons:
a (-1-1) + 1 (-1 - 7) -1 (1 - 7) = -2a -8 + 6 = -2a - 2 = 0
L'équation ci-dessus nous dit que a = -1 pour que l'égalité soit remplie. En d'autres termes, la seule façon dont le point D (à, 0,1) est coplanaire aux points A, B et C est que à vaut -1. Sinon ce ne sera pas coplanaire.
Un plan coupe les axes cartésiens X, Y, Z en 1, 2 et 3 respectivement. L'intersection de ce plan avec les axes détermine les points A, B et C. Trouvez la composante Dz d'un point D, dont les composantes cartésiennes sont:
D (-Dz, Dz + 1, Dz)
A condition que D soit coplanaire avec les points A, B et C.
Lorsque les intersections d'un plan avec les axes cartésiens sont connues, la forme segmentaire de l'équation du plan peut être utilisée:
x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1
Puisque le point D doit appartenir au plan précédent, il doit:
-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1
C'est-à-dire:
-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1
Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½
Dz (-1 / 6⅙) = ½
Dz = -3
De ce qui précède, il s'ensuit que le point D (3, -2, -3) est coplanaire avec les points A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) et C (0, 0, 3).
Déterminez si les points A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) et D (2, 3, 1) sont coplanaires.
Nous formons la matrice dont les lignes sont les coordonnées de D-A, B-A et C-A. Ensuite, le déterminant est calculé et on vérifie s'il est égal ou non à zéro.
Après avoir effectué tous les calculs, on conclut qu'ils sont coplanaires.
Il y a deux lignes dans l'espace. L'un d'eux est la droite (R) dont l'équation paramétrique est:
(R): x = 1 + 2 λ; y = 1 - λ; z = 1
Et l'autre est la droite (S) dont l'équation est:
(S): x + 2 y = 1; z = -1
Montrer que (R) et (S) sont des lignes coplanaires, c'est-à-dire qu'elles se trouvent dans le même plan.
Commençons par prendre arbitrairement deux points sur la ligne (R) et deux sur la ligne (S):
Droit (R): λ = 0; A (1, 1, 1) et λ = 1; B (3, 0, 1)
Faisons x = 0 sur la ligne (S)=> y = ½; C (0, ½, -1). Et d'un autre côté, si nous le faisons y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).
Autrement dit, nous avons pris les points A et B qui appartiennent à la ligne (R) et les points C et D qui appartiennent à la ligne (S). Si ces points sont coplanaires, les deux lignes seront également coplanaires.
Maintenant, nous choisissons le point A comme pivot puis nous trouvons les coordonnées des vecteurs UN B, AC Oui UN D. De cette façon, vous obtenez:
B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => UN B= (2, -1, 0)
C - A: (0-1, 1/2 -1, -1-1) => AC= (-1, -1/2, -2)
D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => UN D= (0, -1, -2)
L'étape suivante consiste à construire et calculer le déterminant dont la première ligne sont les coefficients du vecteur UN B, la deuxième rangée sont celles de AC et la troisième rangée celles du vecteur UN D:
Puisque le déterminant s'avère nul, alors nous pouvons conclure que les quatre points sont coplanaires. De plus, on peut dire que les lignes (R) et (S) sont également coplanaires.
Les droites (R) et (S) sont coplanaires, comme illustré dans l'exercice 3. Trouvez l'équation du plan qui les contient.
Les points A, B, C définissent complètement ce plan, mais nous voulons imposer que tout point X de coordonnées (x, y, z) appartienne au même.
X - A: (x-1, y -1, z - 1) => HACHE= (x-1, y -1, z - 1)
B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => UN B= (2, -1, 0)
C - A: (0-1, 1/2 -1, -1-1) => AC= (-1, -1/2, -2)
Pour que X appartienne au plan défini par A, B, C et dans lequel sont contenues les lignes (R) et (S), il faut que le déterminant formé dans sa première ligne par les composantes de HACHE, dans le second par ceux de UN B et dans le troisième par ceux de AC:
Suite à ce résultat, nous regroupons de cette manière:
2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0
Et immédiatement vous voyez qu'il peut être réécrit comme ceci:
x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0
Donc x + 2y - z = 2 est l'équation du plan qui contient les droites (R) et (S).
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