Il est connu comme nombres triangulaires à la séquence de nombres obtenue en faisant un arrangement ou une figure de points sous la forme d'un triangle équilatéral. Les premiers de la séquence sont: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
Le premier nombre triangulaire est 1, le second est 3, car il est obtenu en ajoutant une rangée de deux points au précédent, pour former un triangle équilatéral de trois éléments.
Le troisième est le 6, qui apparaît lors de l'ajout d'une rangée de trois points à la disposition précédente, de telle sorte qu'un triangle de trois points par côté se forme. Le 10 de la séquence est obtenu en ajoutant une autre ligne à la disposition précédente de sorte qu'un triangle de quatre points par côté est formé.
La formule qui permet de trouver l'élément n de la suite triangulaire, connu le nombre triangulaire précédent est:
Tn = Tn-1 + n
La liste des six premiers nombres triangulaires est obtenue comme ceci:
-Premier: 1
-Deuxième: 1 + 2 = 3
-La troisième: (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6
-Chambre: (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10
-Cinquième: (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15
-Sixième: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21
Index des articles
1.- Le n-ième nombre triangulaire Tn de la suite de nombres triangulaires est la moitié de n multipliée par n + 1:
Tn = ½ n (n + 1)
2.- La somme du n-ième nombre triangulaire avec le nombre triangulaire précédent, c'est-à-dire le (n-1) -th, est n au carré:
Tn + Tn-1= ndeux
3.- La différence du n-ième nombre triangulaire moins le n-ième triangulaire moins un est n:
Tn - Tn-1 = n
4.- La somme des n premiers nombres triangulaires s'appelle le nombre tétraédrique Sn et est égale à la sixième partie du produit de n multiplié par (n + 1) et multiplié par (n + 2):
Sn= ⅙ n (n + 1) (n + 2)
5.- Tout nombre naturel N est le résultat de la somme de trois nombres triangulaires:
N = Δ1 + Δ1 + Δ3
Cette dernière propriété ou théorème, a été découverte par le grand mathématicien Carl Friedrich Gauss en 1796, qu'il nota dans son journal plaçant l'admiration grecque Eurêka! Que signifie "Je l'ai fait".
C'était le même mot utilisé bien avant par le grec Archimède lorsqu'il déterminait le poids apparent d'un corps submergé..
Dans cette relation, le nombre zéro est pris comme triangulaire et il peut y avoir répétition.
Prouvez que le nombre triangulaire n-cette:
Tn = ½ n (n + 1)
Il est facile de déduire la formule ci-dessus, si l'on se rend compte que l'on peut ajouter un nombre égal de points à l'arrangement triangulaire afin qu'il forme un quadrilatère de points.
Puisque le nombre total de points dans la disposition quadrilatérale est le nombre de lignes n multiplié par le nombre de colonnes (n + 1), alors la disposition triangulaire n'aura que la moitié des points de la disposition quadrilatérale.
Ici, il est illustré dans la figure 2.
Montrez que la somme de n-numéro de triangle avec le n-th moins une le nombre triangulaire est n au carré:
Tn + Tn-1= ndeux
Il a déjà été montré que le nombre triangulaire n-th est donné par:
Tn= ½ n (n + 1)
Par conséquent, le nombre triangulaire ci-dessus est:
Tn-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n - 1)
La somme des deux est:
Tn + Tn-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n - 1)
Le facteur commun ½ n est pris pour obtenir:
Tn + Tn-1 = ½ n [(n + 1) + (n - 1)] = ½ n [n + 1 + n - 1]
Et immédiatement l'expression à l'intérieur du crochet est simplifiée:
Tn + Tn-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n
Maintenant, en se rappelant que ½ fois 2 est 1 et que n fois n est n au carré, on a:
Tn + Tn-1 = ndeux
Cette propriété peut également être démontrée sous forme géométrique, il suffit de compléter le triangle pour former un carré, comme le montre la figure 3.
La différence du numéro d'ordre triangulaire n moins le numéro de commande triangulaire n-1 est n:
Tn - Tn-1 = n
Cela peut être prouvé simplement en se rappelant que le nombre triangulaire suivant est obtenu à partir du précédent en utilisant la formule:
Tn = Tn-1 + n
Et à partir de là, il est évident que Tn - Tn-1 = n. Il est également facile de le visualiser graphiquement, comme le montre la figure 4.
La somme des n premiers nombres triangulaires Sn est égal à un sixième du produit de n multiplié par (n + 1) et multiplié par (n + 2):
Sn = ⅙ n (n + 1) (n + 2)
Utilisons le nombre triangulaire d'ordre n: Tn= ½ n (n + 1). La somme du premier n les nombres triangulaires le désignent par Sn
Par exemple, S1 signifie la somme du premier nombre triangulaire, qui sera sans aucun doute 1.
Ensuite, voyons si la formule que nous essayons de tester est vraie pour n = 1:
S1 = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1
En effet, la formule pour n = 1 est vérifiée. Il est facile de visualiser que la somme des n + 1 premiers nombres triangulaires sera la somme des n premiers plus le nombre triangulaire suivant:
Sn + 1 = Sn + Tn + 1
Supposons maintenant que la formule pour Sn est vrai pour n, puis nous le substituons dans l'expression précédente et ajoutons le nombre triangulaire d'ordre n + 1:
Sn + 1 = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]
Voyons étape par étape ce que vous obtenez:
-Nous effectuons la somme des deux expressions fractionnaires:
Sn + 1 = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12
-Il est pris du facteur commun du numérateur à 2 (n + 1) (n + 2) et simplifie:
Sn + 1 = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6
Le résultat ci-dessus est conforme à la formule de Sn si n est remplacé par n + 1, ce qui a été montré par récurrence la formule de la somme des n premiers termes triangulaires.
Le résultat ainsi obtenu est appelé nombre tétraédrique d'ordre n, car c'est comme accumuler des couches triangulaires qui forment un tétraèdre, comme le montre l'animation suivante.
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