Les vecteurs coplanaires ou coplanaires sont ceux qui sont contenus sur le même plan. Lorsqu'il n'y a que deux vecteurs, ils sont toujours coplanaires, puisqu'il y a des plans infinis il est toujours possible d'en choisir un qui les contient.
Si vous avez trois vecteurs ou plus, il se peut que certains d'entre eux ne soient pas dans le même plan que les autres, ils ne peuvent donc pas être considérés comme coplanaires. La figure suivante montre un ensemble de vecteurs coplanaires indiqués en gras À, B, C Oui ré:
Les vecteurs sont liés au comportement et aux propriétés des grandeurs physiques pertinentes en science et en ingénierie; par exemple vitesse, accélération et force.
Une force produit des effets différents sur un objet lorsque la manière dont elle est appliquée est modifiée, par exemple en modifiant l'intensité, la direction et la direction. Même en ne modifiant qu'un seul de ces paramètres, les résultats sont considérablement différents..
Dans de nombreuses applications, à la fois en statique et en dynamique, les forces agissant sur un corps sont sur le même plan, elles sont donc considérées comme coplanaires.
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Pour que trois vecteurs soient coplanaires, ils doivent se trouver sur le même plan et cela se produit s'ils remplissent l'une des conditions suivantes:
-Les vecteurs sont parallèles, donc leurs composantes sont proportionnelles et linéairement dépendantes.
-Votre produit mixte est nul.
-Si vous avez trois vecteurs et que l'un d'entre eux peut être écrit comme une combinaison linéaire des deux autres, ces vecteurs sont coplanaires. Par exemple, un vecteur qui résulte de la somme de deux autres, les trois sont tous dans le même plan.
Alternativement, la condition de coplanarité peut être établie comme suit:
U V w sont coplanaires s'il y a trois nombres (scalaires) α, β, γ tels que αou alors + βv + γw = 0 avec (α, β, γ) autre que (0, 0, 0)
Le produit mixte entre vecteurs est défini par trois vecteurs ou alors, v Oui w, résultant en un scalaire résultant de l'exécution de l'opération suivante:
ou alors · (v X w) = ou alors · (v X w)
Tout d'abord, le produit croisé qui est entre parenthèses est effectué: v X w, dont le résultat est un vecteur normal (perpendiculaire) au plan dans lequel les deux v Quoi w.
Oui ou alors est sur le même plan que v Oui w, naturellement le produit scalaire (produit ponctuel) entre u et ledit vecteur normal doit être égal à 0. On vérifie ainsi que les trois vecteurs sont coplanaires (ils se trouvent sur le même plan).
Lorsque le produit mixte n'est pas nul, son résultat est égal au volume du parallélépipède qui a les vecteurs ou alors, v Oui w comme côtés adjacents.
Les forces concurrent ils sont tous appliqués au même point. S'ils sont également coplanaires, ils peuvent être remplacés par un seul, appelé force résultante et a le même effet que les forces d'origine.
Si un corps est en équilibre grâce à trois forces coplanaires, concurrentes et non colinéaires (non parallèles), appelées À, B Oui C, les Théorème de Lamy souligne que la relation entre ces forces (amplitudes) est la suivante:
A / sin α = B / sin β = C / sin γ
Avec α, β et γ comme angles opposés aux forces appliquées, comme le montre la figure suivante:
Trouvez la valeur de k pour que les vecteurs suivants soient coplanaires:
ou alors = <-3, k, 2>
v = <4, 1, 0>
w = <-1, 2, -1>
Puisque nous avons les composantes des vecteurs, le critère du produit mixte est utilisé, donc:
ou alors · (v X w) = 0
Il est résolu en premier v X w. Les vecteurs seront exprimés en termes de vecteurs unitaires je, j Oui k qui distinguent les trois directions perpendiculaires dans l'espace (largeur, hauteur et profondeur):
v= 4 je + j + 0 k
w= -1 je + deuxj -1 k
v X w = -4 (i x i) + 8 (i x j) - 4 (i x k) - (j x i) + deux (j x j) - deux (j x k) = 8 k + 4 j + k -deux i = -deux je + 4 j + 9 k
Nous considérons maintenant le produit scalaire entre u et le vecteur résultant de l'opération précédente, en définissant l'opération égale à 0:
ou alors (v X w) = (-3 je + k j + deux k) · (-deux je + 4 j + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0
24 + 4k = 0
La valeur recherchée est: k = - 6
Donc le vecteur ou alors c'est:
ou alors = <-3, -6, 2>
La figure montre un objet dont le poids est W = 600 N, suspendu en équilibre grâce aux câbles placés aux angles indiqués sur la figure 3. Est-il possible d'appliquer le théorème de Lamy dans cette situation? Dans tous les cas, trouvez les magnitudes de T1, Tdeux Oui T3 qui rendent l'équilibre possible.
Le théorème de Lamy est applicable dans cette situation si l'on considère le nœud sur lequel les trois contraintes sont appliquées, puisqu'elles constituent un système de forces coplanaires. Tout d'abord, le diagramme du corps libre pour le poids suspendu est fait, afin de déterminer la magnitude de T3:
De la condition d'équilibre, il découle que:
T3 = W = 600 N
Les angles entre les forces sont marqués en rouge sur la figure suivante, on peut facilement vérifier que leur somme est de 360º. Il est maintenant possible d'appliquer le théorème de Lamy, puisque l'une des forces et les trois angles entre elles sont connus:
T1 / sin 127º = W / sin 106º
Par conséquent: T1 = sin 127 ° (W / sin 106 °) = 498,5 N
Encore une fois, le théorème de Lamy est appliqué pour résoudre Tdeux:
Tdeux / sin 127 = T1 / sin 127º
Tdeux = T1 = 498,5 N
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