La règle des Simpsons est une méthode de calcul, de manière approximative, d'intégrales définies. Il est basé sur la division de l'intervalle d'intégration en un nombre pair de sous-intervalles également espacés.
Les valeurs extrêmes de deux sous-intervalles consécutifs définissent trois points par lesquels une parabole, dont l'équation est un polynôme du second degré, s'adapte.
Ensuite, l'aire sous la courbe de la fonction dans les deux intervalles consécutifs est approximée par l'aire du polynôme d'interpolation. En additionnant la contribution à l'aire sous la parabole de tous les sous-intervalles successifs, on a la valeur approximative de l'intégrale.
D'autre part, puisque l'intégrale d'une parabole peut être calculée algébriquement exactement, alors il est possible de trouver une formule analytique pour la valeur approximative de l'intégrale définie. Il est connu comme le La formule de Simpson.
L'erreur du résultat approximatif ainsi obtenu diminue à mesure que le nombre de subdivisions n est plus grand (où n est un nombre pair).
Une expression sera donnée ci-dessous qui permet d'estimer la borne supérieure de l'erreur de l'approximation de l'intégrale I, lorsqu'une partition de n sous-intervalles réguliers de l'intervalle total a été faite [a, b].
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L'intervalle d'intégration [a, b] est subdivisé en n sous-intervalles, n étant un entier pair. La largeur de chaque subdivision sera:
h = (b - a) / n
De cette façon, sur l'intervalle [a, b] la partition est faite:
X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn
Où X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
La formule qui permet de calculer de manière approximative l'intégrale définie I de la fonction continue, et de préférence lisse, sur l'intervalle [a, b] est:
Pour obtenir la formule de Simpson, dans chaque sous-intervalle [Xi, Xi + 2] la fonction f (X) est approximée par un polynôme du second degré p (X) (parabole) qui passe par les trois points: [Xi, f (Xi)] ; [Xi + 1, f (Xi + 1)] et [Xi + 2, f (Xi + 2)].
Ensuite, nous calculons l'intégrale du polynôme p (x) dans [Xi, Xi + 2] qui se rapproche de l'intégrale de la fonction f (X) dans cet intervalle.
L'équation de la parabole p (X) a la forme générale: p (X) = A Xdeux + B X + C.Lorsque la parabole passe par les points Q indiqués en rouge (voir figure), les coefficients A, B, C sont déterminés à partir du système d'équations suivant:
A (-h)deux - B h + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
A (h)deux + B h + C = f (Xi + 2)
On voit que le coefficient C est déterminé. Pour déterminer le coefficient A, nous ajoutons les première et troisième équations obtenant:
2 A hdeux + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Ensuite, la valeur de C est substituée et A est effacé, laissant:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 hdeux)
Pour déterminer le coefficient B, la troisième équation est soustraite de la première et B est résolu, obtenant:
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 h.
En résumé, le polynôme du deuxième degré p (X) qui passe par les points Qi, Qi + 1 et Qi + 2 a des coefficients:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 hdeux)
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 h
C = f (Xi + 1)
Comme déjà mentionné, sur l'intervalle d'intégration total [a, b] une partition est faite X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn avec le pas h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n , où n est un nombre pair.
Notez que l'erreur diminue avec la quatrième puissance du nombre de subdivisions dans l'intervalle. Par exemple, si vous passez de n subdivisions à 2n, l'erreur diminue d'un facteur 1/16.
La borne supérieure de l'erreur obtenue par l'approximation de Simpson peut être obtenue à partir de cette même formule, en remplaçant la quatrième dérivée par la valeur absolue maximale de la quatrième dérivée dans l'intervalle [a, b].
Considérons la fonction la fonction f (X) = 1 / (1 + Xdeux).
Trouvez l'intégrale définie de la fonction f (X) sur l'intervalle [-1, 1] en utilisant la méthode de Simpson avec deux subdivisions (n = 2).
Nous prenons n = 2. Les limites d'intégration sont a = -1 et b = -2, donc la partition ressemble à ceci:
X0 = -1; X1 = 0 et X2 = +1.
Par conséquent, la formule de Simpson prend la forme suivante:
Avec n = 2 → xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, donc:
Considérons la fonction f (X) = 1 / (1 + Xdeux).
Trouvez l'intégrale définie de la fonction f (X) sur l'intervalle [-1, 1] en utilisant la formule de Simpson avec quatre subdivisions (n = 4).
Nous prenons n = 4. Les limites d'intégration sont a = -1 et b = -2, donc la partition ressemble à ceci:
X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 et X4 = +1.
La formule de Simpson est énoncée comme suit:
Intégrale ≃ [(b -a) / (3 n)] [f (X0) + 4 I + 2 P + f (Xn)]
Pour le cas où il est appliqué, c'est comme suit:
Intégrale ≃ (1 - (1)) / (3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1)
Intégrale ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1,5666
Déterminer exactement l'intégrale définie des exemples précédents et comparer le résultat exact avec ceux obtenus en utilisant la formule de Simpson dans les exemples 1a et 1b.
L'intégrale indéfinie de la fonction f (X) = 1 / (1 + Xdeux) est la fonction arctane (X).
Lors de l'évaluation dans les limites de l'intégration, il reste:
Intégrale = arctan (1) - arctan (-1) = π / 4 - (-π / 4) = π / 2 = 1,5708
Si nous comparons le résultat de la solution exacte avec celui obtenu par la méthode de Simpson avec n = 2 et n = 4, nous avons:
Pour n = 2, la différence entre la solution exacte et la solution approximative est π / 2 - 5/3 = -0,0959, soit une différence en pourcentage de -0,06%.
Et pour l'approximation de Simpson avec n = 4, la différence entre la solution exacte et la solution approximative est π / 2 - 47/30 = 0,0041, soit une différence en pourcentage de 0,003%.
La méthode de Simpson convient pour être appliquée dans les langages de programmation et dans les applications informatiques pour les calculs mathématiques. Il est suggéré au lecteur, sur la base des formules données dans cet article, d'écrire son propre code dans son programme préféré.
La figure suivante montre un exercice dans lequel la formule de Simpson a été implémentée dans Studio Smath, logiciel gratuit disponible pour les systèmes d'exploitation les fenêtres Oui Android.
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