Exemples de séquences quadratiques, règles et exercices résolus

le séquences quadratiques, en termes mathématiques, ils consistent en des séquences de nombres qui suivent une certaine règle arithmétique. Il est intéressant de connaître cette règle pour déterminer l'un des termes d'une séquence.

Une façon d'y parvenir est de déterminer la différence entre deux termes successifs et de voir si la valeur obtenue est toujours répétée. Lorsque c'est le cas, on dit qu'il s'agit d'un succession régulière.

Mais s'il n'est pas répété, vous pouvez essayer d'examiner le différence entre les différences et voyez si cette valeur est constante. Si c'est le cas, alors c'est un séquence quadratique. 

Index des articles

• 1 Exemples de séquences régulières et de séquences quadratiques
  • 1.1 Exemple de succession régulière
  • 1.2 Exemple de séquence non régulière et quadratique
• 2 Règle générale de construction d'une suite quadratique
  • 2.1 Différence entre deux termes consécutifs d'une suite quadratique
• 3 Problèmes résolus de séquences quadratiques
  • 3.1 Exercice 1
  • 3.2 Exercice 2
  • 3.3 Exercice 3
• 4 Références

Exemples de séquences régulières et de séquences quadratiques

Les exemples suivants aident à clarifier ce qui a été expliqué jusqu'à présent:

Exemple de succession régulière

Soit la suite S = 4, 7, 10, 13, 16,…

Cette suite, notée S, est un ensemble numérique infini, dans ce cas d'entiers.

On voit qu'il s'agit d'une séquence régulière, car chaque terme est obtenu en ajoutant 3 au terme ou à l'élément précédent:

4

4 +3 = 7

7+3 = 10

dix+3 = 13

13+3 = 16

En d'autres termes: cette séquence est régulière car la différence entre le terme suivant et le précédent donne une valeur fixe. Dans l'exemple donné, cette valeur est 3.

Les séquences régulières obtenues en ajoutant une quantité fixe au terme précédent sont également appelées progressions arithmétiques. Et la différence -constante- entre les termes successifs est appelée raison et est noté R.

Exemple de séquence non régulière et quadratique

Voyez maintenant la séquence suivante:

S = 2, 6, 12, 20, 30,….

Lorsque des différences successives sont calculées, les valeurs suivantes sont obtenues:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = dix

Ses différences ne sont pas constantes, on peut donc dire que ce n'est pas une séquence régulière.

Cependant, si nous considérons l'ensemble des différences, nous avons une autre séquence, qui sera notée S_diff:

S_diff = 4, 6, 8, 10,….

Cette nouvelle succession est un succession régulière, puisque chaque terme est obtenu en ajoutant la valeur fixe R = 2 à la précédente. On peut donc affirmer que S est séquence quadratique.

Règle générale de construction d'une séquence quadratique

Il existe une formule générale pour construire une séquence quadratique:

T_n = A ∙ n^deux + B ∙ n + C

Dans cette formule, T_n est le terme de la position n de la suite. A, B et C sont des valeurs fixes, tandis que n varie un par un, c'est-à-dire 1, 2, 3, 4, ...

Dans la séquence S de l'exemple précédent A = 1, B = 1 et C = 0. De là, il s'ensuit que la formule qui génère tous les termes est: T_n = n^deux + n

C'est-à-dire:

T₁ = 1^deux + 1 = 2

T_deux = 2^deux + 2 = 6

T₃ = 3^deux + 3 = 12

T₅ = 5^deux + 5 = 30

T_n = n^deux + n

Différence entre deux termes consécutifs d'une séquence quadratique

T_{n + 1} - T_n = [A ∙ (n + 1)^deux + B ∙ (n + 1) + C] - [A ∙ n^deux + B ∙ n + C]

Développer l'expression à travers un produit remarquable reste:

T_{n + 1} - T_n = A ∙ n^deux + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n^deux - B ∙ n - C

En le simplifiant, vous obtenez:

T_{n + 1} - T_n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

C'est la formule qui donne la séquence des différences S_Dif qui peut être écrit comme ceci:

Dif_n = A ∙ (2n + 1) + B

Où clairement le terme suivant est 2 ∙ Parfois le précédent. Autrement dit, le rapport de la séquence des différences S_diff est: R = 2 ∙ A.

Problèmes résolus de séquences quadratiques

Exercice 1

Soit la suite S = 1, 3, 7, 13, 21,…. Déterminez si:

i) Est-ce régulier ou non

ii) Est-ce quadratique ou non

iii) C'était quadratique, la séquence des différences et leur rapport

Réponses

i) Calculons la différence entre les termes suivants et précédents:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Nous pouvons affirmer que la séquence S n'est pas régulière, car la différence entre les termes successifs n'est pas constante.

ii) La séquence des différences est régulière, car la différence entre ses termes est la valeur constante 2. Par conséquent la séquence d'origine S est quadratique.

iii) Nous avons déjà déterminé que S est quadratique, la séquence des différences est:

S_diff = 2, 4, 6, 8, ... et son rapport est R = 2.

Exercice 2

Soit la séquence S = 1, 3, 7, 13, 21,… de l'exemple précédent, où il a été vérifié qu'elle est quadratique. Déterminer:

i) La formule qui détermine le terme général T_{n .}

ii) Vérifiez les troisième et cinquième trimestres.

iii) La valeur du dixième terme.

Réponses

i) La formule générale de T_n est A ∙ n^deux + B ∙ n + C. Ensuite, il reste à connaître les valeurs de A, B et C.

La séquence des différences a un rapport 2. De plus, pour toute séquence quadratique, le rapport R est 2 ∙ A comme indiqué dans les sections précédentes.

R = 2 ∙ A = 2 ce qui nous amène à conclure que A = 1.

Le premier terme de la suite des différences S_Dif vaut 2 et doit satisfaire A ∙ (2n + 1) + B, avec n = 1 et A = 1, soit:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

en résolvant B, on obtient: B = -1

Alors le premier terme de S (n = 1) vaut 1, soit: 1 = A ∙ 1^deux + B ∙ 1 + C.Comme nous savons déjà que A = 1 et B = -1, en remplaçant nous avons:

1 = 1 ∙ 1^deux + (-1) ∙ 1 + C

En résolvant pour C, nous obtenons sa valeur: C = 1.

En résumé:

A = 1, B = -1 et C = 1

Alors le nième terme sera T_n = n^deux - n + 1

ii) Le troisième terme T₃ = 3^deux - 3 + 1 = 7 et c'est vérifié. Le cinquième T₅ = 5^deux - 5 + 1 = 21 qui est également vérifié.

iii) Le dixième terme sera T_dix = 10^deux - 10 + 1 = 91.

Exercice 3

La figure montre une séquence de cinq chiffres. Le treillis représente l'unité de longueur.

i) Déterminez la séquence de l'aire des figures.

ii) Montrer qu'il s'agit d'une suite quadratique.

iii) Trouvez la zone de la figure # 10 (non illustrée).

Réponses

i) La séquence S correspondant à l'aire de la séquence de chiffres est:

S = 0, 2, 6, 12, 20,…

ii) La séquence correspondant aux différences consécutives des termes de S est:

S_diff = 2, 4, 6, 8,…

Puisque la différence entre les termes consécutifs n'est pas constante, alors S n'est pas une séquence régulière. Reste à savoir s'il est quadratique, pour lequel on refait l'enchaînement des différences, en obtenant:

2, 2, 2,….

Puisque tous les termes de la séquence sont répétés, il est confirmé que S est une suite quadratique.

iii) La séquence S_diff est régulier et son rapport R est 2. En utilisant l'équation ci-dessus R = 2 ∙ A, il reste:

2 = 2 ∙ A, ce qui implique que A = 1.

Le deuxième terme de la suite des différences S_Dif est 4 et le nième terme de S_Dif c'est

A ∙ (2n + 1) + B.

Le deuxième terme a n = 2. De plus, il a déjà été déterminé que A = 1, donc en utilisant l'équation précédente et en la remplaçant, nous avons:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

En résolvant B, nous obtenons: B = -1.

On sait que le second terme de S vaut 2, et qu'il doit remplir la formule du terme général avec n = 2:

T_n = A ∙ n^deux + B * n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T_deux = 2

C'est-à-dire

2 = 1 ∙ 2^deux - 1 ∙ 2 + C

On en conclut que C = 0, c'est-à-dire que la formule qui donne le terme général de la suite S est:

T_n = 1 ∙ n^deux - 1 ∙ n +0 = n^deux - n

Maintenant, le cinquième terme est vérifié:

T₅ = 5^deux - 5 = 20

iii) La figure # 10, qui n'a pas été dessinée ici, aura l'aire correspondant au dixième terme de la séquence S:

T_dix = 10^deux - 10 = 90

Les références

1. https://www.geogebra.org