le théorème binomial est une équation qui nous dit comment développer une expression de la forme (a + b)n pour un nombre naturel n. Un binôme n'est rien de plus que la somme de deux éléments, comme (a + b). Cela nous permet également de savoir pour un terme donné par unkbn-k quel est le coefficient qui l'accompagne.
Ce théorème est communément attribué à l'inventeur, physicien et mathématicien anglais Sir Isaac Newton; Cependant, divers documents ont été trouvés indiquant que son existence était déjà connue au Moyen-Orient, vers l'an 1000..
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Le théorème binomial nous dit mathématiquement ce qui suit:
Dans cette expression, a et b sont des nombres réels et n est un nombre naturel.
Avant de donner la démo, examinons quelques concepts de base nécessaires.
Le nombre combinatoire ou les combinaisons de n dans k s'exprime comme suit:
Cette forme exprime la valeur du nombre de sous-ensembles avec k éléments pouvant être choisis parmi un ensemble de n éléments. Son expression algébrique est donnée par:
Voyons un exemple: supposons que nous ayons un groupe de sept boules, dont deux sont rouges et les autres sont bleues..
Nous voulons savoir de combien de façons nous pouvons les organiser à la suite. Une façon pourrait être de placer les deux rouges dans les première et deuxième positions, et le reste des balles dans les positions qui restent..
Comme dans le cas précédent, nous pourrions donner aux boules rouges la première et la dernière position respectivement, et occuper les autres avec des boules bleues.
Maintenant, un moyen efficace de compter le nombre de façons dont nous pouvons organiser les boules dans une rangée consiste à utiliser des nombres combinatoires. Nous pouvons voir chaque position comme un élément de l'ensemble suivant:
Ensuite, il ne reste plus qu'à choisir un sous-ensemble de deux éléments, dans lequel chacun de ces éléments représente la position qu'occuperont les boules rouges. On peut faire ce choix en fonction de la relation donnée par:
De cette façon, nous avons qu'il y a 21 façons de commander ces balles.
L'idée générale de cet exemple sera très utile pour prouver le théorème binomial. Regardons un cas particulier: si n = 4, on a (a + b)4, qui n'est rien de plus que:
Lorsque nous développons ce produit, nous nous retrouvons avec la somme des termes obtenus en multipliant un élément de chacun des quatre facteurs (a + b). Ainsi, nous aurons des termes qui seront de la forme:
Si nous voulions obtenir le terme de la forme a4, il suffit de multiplier comme suit:
Notez qu'il n'y a qu'une seule façon d'obtenir cet élément; mais que se passe-t-il si nous recherchons maintenant le terme de la forme adeuxbdeux? Puisque «a» et «b» sont des nombres réels et que, par conséquent, la loi commutative est valide, nous avons qu'une façon d'obtenir ce terme est de multiplier avec les membres comme indiqué par les flèches.
Effectuer toutes ces opérations est généralement un peu fastidieux, mais si nous voyons le terme «a» comme une combinaison où nous voulons savoir combien de façons nous pouvons choisir deux «a» parmi un ensemble de quatre facteurs, nous pouvons utiliser l'idée exemple précédent. Donc, nous avons ce qui suit:
Ainsi, nous savons que dans le développement final de l'expression (a + b)4 nous aurons exactement 6adeuxbdeux. En utilisant la même idée pour les autres éléments, vous devez:
Ensuite, nous ajoutons les expressions obtenues précédemment et nous avons cela:
C'est une preuve formelle du cas général dans lequel "n" est un entier naturel.
Notez que les termes qui restent lors du développement (a + b)n Ils sont de la forme unkbn-k, où k = 0,1,…, n. En utilisant l'idée de l'exemple précédent, nous avons le moyen de choisir "k" variables "a" des "n" facteurs est:
En choisissant de cette manière, nous choisissons automatiquement n-k variables "b". Il en découle que:
Considérant (a + b)5, Quel serait votre développement?
Par le théorème binomial, nous avons:
Le théorème binomial est très utile si nous avons une expression dans laquelle nous voulons savoir quel est le coefficient d'un terme spécifique sans avoir à faire le développement complet. A titre d'exemple, nous pouvons prendre l'inconnue suivante: quel est le coefficient de x7Oui9 dans l'expansion de (x + y)16?
Par le théorème binomial, nous avons que le coefficient est:
Un autre exemple serait: quel est le coefficient de x5Oui8 dans le développement de (3x-7y)13?
Nous réécrivons d'abord l'expression de manière pratique; c'est:
Ensuite, en utilisant le théorème binomial, on a que le coefficient recherché est quand on a k = 5
Un autre exemple des utilisations de ce théorème est dans la preuve de certaines identités communes, telles que celles que nous mentionnerons ci-dessous.
Si "n" est un nombre naturel, nous avons:
Pour la démonstration, nous utilisons le théorème binomial, où "a" et "b" prennent tous deux la valeur 1. Ensuite, nous avons:
De cette façon, nous avons prouvé la première identité.
Si "n" est un nombre naturel, alors
Par le théorème binomial, nous avons:
Nous pouvons faire une démonstration différente du théorème binomial en utilisant la méthode inductive et l'identité de Pascal, qui nous dit que, si «n» et «k» sont des entiers positifs qui satisfont n ≥ k, alors:
Voyons d'abord que la base inductive tient. Si n = 1, nous avons:
En effet, nous voyons qu'elle est accomplie. Maintenant, soit n = j tel que:
On veut voir que pour n = j + 1 il est vrai que:
Nous devons donc:
Par hypothèse, nous savons que:
Ensuite, en utilisant la propriété distributive:
Par la suite, en développant chacune des sommations, nous avons:
Maintenant, si nous regroupons de manière pratique, nous avons cela:
En utilisant l'identité de Pascal, nous avons:
Enfin, notez que:
Par conséquent, nous voyons que le théorème binomial est valable pour tout "n" appartenant aux nombres naturels, et avec cela la preuve se termine.
Le nombre combinatoire (nk) est aussi appelé coefficient binomial car c'est précisément le coefficient qui apparaît dans le développement du binôme (a + b)n.
Isaac Newton a donné une généralisation de ce théorème pour le cas où l'exposant est un nombre réel; ce théorème est connu sous le nom de théorème binomial de Newton.
Déjà dans l'Antiquité, ce résultat était connu pour le cas particulier dans lequel n = 2. Ce cas est mentionné dans le Éléments par Euclid.
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