UNE trapèze scalène est un polygone à quatre côtés, dont deux sont parallèles entre eux, et avec ses quatre angles intérieurs de mesures différentes.
Le quadrilatère ABCD est illustré ci-dessous, où les côtés AB et DC sont parallèles l'un à l'autre. Cela suffit pour en faire un trapèze, mais en plus, les angles intérieurs α, β, γ et δ sont tous différents, donc le trapèze est scalène.
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Voici les éléments les plus caractéristiques:
-Bases et côtés: les côtés parallèles du trapèze sont ses bases et les deux côtés non parallèles sont les latéraux.
Dans un trapèze scalène, les bases sont de longueurs différentes et les latérales également. Cependant, un trapèze scalène peut avoir une longueur latérale égale à une base..
-Médian: est le segment qui rejoint les milieux des latéraux.
-Diagonales: la diagonale d'un trapèze est le segment qui joint deux sommets opposés. Un trapèze, comme chaque quadrilatère, a deux diagonales. Dans le trapèze scalène, ils sont de longueur différente.
En plus du trapèze scalène, il existe d'autres trapèzes particuliers: le trapèze droit et le trapèze isocèle..
Un trapèze est un rectangle lorsque l'un de ses angles est droit, tandis qu'un trapèze isocèle a ses côtés de longueur égale.
La forme trapézoïdale a de nombreuses applications au niveau du design et de l'industrie, comme dans la configuration des ailes d'avion, la forme des objets du quotidien tels que les tables, les dossiers de chaise, les emballages, les sacs à main, les imprimés textiles et plus encore..
Vous trouverez ci-dessous les propriétés du trapèze scalène, dont beaucoup s'étendent aux autres types de trapèze. Dans ce qui suit, quand on parle de "trapèze", la propriété sera applicable à tout type, y compris le scalène..
1. La médiane du trapèze, c'est-à-dire le segment qui rejoint les milieux de ses côtés non parallèles, est parallèle à l'une des bases.
2.- La médiane d'un trapèze a une longueur qui est la demi-somme de ses bases et coupe ses diagonales au milieu.
3.- Les diagonales d'un trapèze se coupent en un point qui les divise en deux sections proportionnelles aux quotients des bases.
4.- La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés de ses côtés plus le double produit de ses bases..
5.- Le segment qui rejoint les milieux des diagonales a une longueur égale à la demi-différence des bases.
6.- Les angles adjacents aux latéraux sont supplémentaires.
7.- Dans un trapèze scalène, la longueur de ses diagonales est différente.
8.- Un trapèze n'a une circonférence inscrite que si la somme de ses bases est égale à la somme de ses côtés.
9.- Si un trapèze a une circonférence inscrite, alors l'angle avec le sommet au centre de ladite circonférence et les côtés qui passent par les extrémités du côté du trapèze est droit.
10.- Un trapèze scalène n'a pas de circonférence circonscrite, le seul type de trapèze qui en a une est l'isocèle.
Les relations suivantes du trapèze scalène sont renvoyées à la figure suivante.
1.- Si AE = ED et BF = FC → EF || AB et EF || DC.
2.- EF = (AB + DC) / 2 soit: m = (a + c) / 2.
3.- DI = IB = d1 / 2 et AG = GC = ddeux /deux.
4.- DJ / JB = (c / a) de même CJ / JA = (c / a).
5.- DBdeux + ACdeux = ADdeux + avant JCdeux + 2 AB ∙ DC
De manière équivalente:
ré1deux + rédeuxdeux = ddeux + bdeux + 2 a ∙ c
6.- GI = (AB - DC) / 2
C'est-à-dire:
n = (a - c) / 2
7.- α + δ = 180⁰ et β + γ = 180⁰
8.- Si α ≠ β ≠ γ ≠ δ alors d1 ≠ d2.
9.- La figure 4 montre un trapèze scalène qui a une circonférence inscrite, dans ce cas il est vrai que:
a + c = d + b
10.- Dans un trapèze scalène ABCD avec une circonférence inscrite de centre O, ce qui suit est également vrai:
∡AOD = ∡BOC = 90⁰
La hauteur d'un trapèze est définie comme le segment qui va d'un point de la base perpendiculairement à la base opposée (ou à son prolongement).
Toutes les hauteurs du trapèze ont la même mesure h, donc la plupart du temps le mot hauteur se réfère à sa mesure. En synthèse, la hauteur est la distance ou la séparation entre les bases.
La hauteur h peut être déterminée en connaissant la longueur d'un côté et l'un des angles adjacents au côté:
h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)
La mesure m de la médiane du trapèze est la demi-somme des bases:
m = (a + b) / 2
ré1 = √ [adeux + rédeux - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α)]
rédeux= √ [adeux + bdeux - 2 ∙ a ∙ b ∙ Cos (β)]
Il peut également être calculé si seule la longueur des côtés du trapèze est connue:
ré1 = √ [bdeux + a ∙ c - a (bdeux - rédeux) / (a - c)]
rédeux = √ [ddeux + a ∙ c - a (ddeux - bdeux) / (a - c)]
Le périmètre est la longueur totale du contour, c'est-à-dire la somme de tous ses côtés:
P = a + b + c + d
L'aire d'un trapèze est la demi-somme de ses bases multipliée par sa hauteur:
A = h ∙ (a + b) / 2
Il peut également être calculé si la médiane m et la hauteur h sont connues:
A = m ∙ h
Dans le cas où seule la longueur des côtés du trapèze est connue, la zone peut être déterminée en utilisant la formule de Heron pour le trapèze:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Où s est le demi-mètre: s = (a + b + c + d) / 2.
L'intersection de la médiane avec les diagonales et la parallèle qui passe par l'intersection des diagonales donne lieu à d'autres relations.
EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2
Si KL || AB || DC avec J ∈ KL, alors KJ = JL = (a ∙ c) / (a + c)
Compte tenu des bases des longueurs à Oui c, où a> c et avec des côtés de longueurs b et ré, étant b> d, procédez en suivant ces étapes (voir figure 6):
1.- Avec la règle, le segment de l'AB majeur est dessiné.
2.- A partir de A se et sur AB le point P est marqué de telle sorte que AP = c.
3.- Avec la boussole avec centre à P et rayon d, un arc est dessiné.
4.- Centrer en B avec le rayon b en dessinant un arc qui intercepte l'arc dessiné à l'étape précédente. On appelle Q le point d'intersection.
5.- Avec le centre en A, dessinez un arc de rayon d.
6.- Avec le centre en Q, dessinez un arc de rayon c qui intercepte l'arc dessiné à l'étape précédente. Le point de coupure sera appelé R.
7.- Les segments BQ, QR et RA sont tracés avec la règle.
8.- Le quadrilatère ABQR est un trapèze scalène, puisque APQR est un parallélogramme qui garantit que AB || Qr.
Les longueurs suivantes sont données en cm: 7, 3, 4 et 6.
a) Déterminez si avec eux il est possible de construire un trapèze scalène qui peut circonscrire un cercle.
b) Trouvez le périmètre, l'aire, la longueur des diagonales et la hauteur dudit trapèze, ainsi que le rayon du cercle inscrit.
En utilisant les segments de longueur 7 et 3 comme bases et ceux de longueur 4 et 6 comme latéraux, un trapèze scalène peut être construit en utilisant la procédure décrite dans la section précédente.
Reste à vérifier s'il a une circonférence inscrite, mais en se souvenant de la propriété (9):
Un trapèze n'a une circonférence inscrite que si la somme de ses bases est égale à la somme de ses côtés.
Nous voyons cela efficacement:
7 + 3 = 4 + 6 = 10
Alors la condition d'existence de la circonférence inscrite est remplie.
Le périmètre P est obtenu en ajoutant les côtés. Puisque les bases totalisent 10 et les latéraux aussi, le périmètre est:
P = 20 cm
Pour déterminer la zone, connue uniquement ses côtés, la relation est appliquée:
A = [(a + c) / | a-c |] ∙ √ [(s-a) (s-c) (s-a-d) (s-a-b)]
Où s est le demi-mètre:
s = (a + b + c + d) / 2.
Dans notre cas, le demi-mètre vaut s = 10 cm. Après avoir remplacé les valeurs respectives:
a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm
Restes:
A = [10/4] √ [(3) (7) (- 1) (- 3)] = (5/2) √63 = 19,84 cm².
La hauteur h est liée à la zone A par l'expression suivante:
A = (a + c) ∙ h / 2, à partir de laquelle la hauteur peut être obtenue en dégageant:
h = 2A / (a + c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.
Le rayon du cercle inscrit est égal à la moitié de la hauteur:
r = h / 2 = 1 984 cm
Enfin, la longueur des diagonales est trouvée:
ré1 = √ [bdeux + a ∙ c - a (bdeux - rédeux) / (a - c)]
rédeux = √ [ddeux + a ∙ c - a (ddeux - bdeux) / (a - c)]
En remplaçant correctement les valeurs, nous avons:
ré1 = √ [6deux + 7 ∙ 3 à 7 (6deux - 4deux) / (7 - 3)] = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)
rédeux = √ [4deux + 7 ∙ 3 à 7 (4deux - 6deux) / (7 - 3)] = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)
C'est-à-dire: d1 = 4,69 cm et ddeux = 8,49 cm
Déterminer les angles intérieurs du trapèze avec les bases AB = a = 7, CD = c = 3 et les angles latéraux BC = b = 6, DA = d = 4.
Le théorème du cosinus peut être appliqué pour déterminer les angles. Par exemple, l'angle ∠A = α est déterminé à partir du triangle ABD avec AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 et DA = d = 4.
Le théorème du cosinus appliqué à ce triangle ressemble à ceci:
rédeuxdeux = adeux + rédeux - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), soit:
72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).
En résolvant, le cosinus de l'angle α est obtenu:
Cos (α) = -1/8
Autrement dit, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.
De la même manière, les autres angles sont obtenus, leurs valeurs étant:
β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ et finalement δ = 82,82⁰.
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