Propriétés, relations et formules du trapèze isocèle, exemples

UNE trapèze isocèle est un quadrilatère dans lequel deux des côtés sont parallèles l'un à l'autre et aussi, les deux angles adjacents à l'un de ces côtés parallèles ont la même mesure.

Dans la figure 1, nous avons le quadrilatère ABCD, dans lequel les côtés AD et BC sont parallèles. De plus, les angles ∠DAB et ∠ADC adjacents au côté parallèle AD ont la même mesure α. 

Donc ce quadrilatère, ou polygone à quatre côtés, est en fait un trapèze isocèle.

Dans un trapèze, les côtés parallèles sont appelés les bases et les non-parallèles sont appelés latéral. Une autre caractéristique importante est la la taille, qui est la distance qui sépare les côtés parallèles.

En plus du trapèze isocèle, il existe d'autres types de trapèze:

-Tlotte scalène, qui a tous ses différents angles et côtés.

-Tbaudroie rectangle, dans lequel un latéral a des angles adjacents droits.

La forme trapézoïdale est courante dans divers domaines de la conception, de l'architecture, de l'électronique, du calcul et bien d'autres, comme on le verra plus loin. D'où l'importance de se familiariser avec ses propriétés.

Index des articles

• 1 Propriétés
  • 1.1 Exclusivités du trapèze isocèle
  • 1.2 Pour tous les trapèzes
• 2 Relations et formules
  • 2.1 Relations uniques du trapèze isocèle
  • 2.2 Relations pour tout trapèze
  • 2.3 Relations pour trapèze isocèle avec circonférence inscrite
  • 2.4 Formules pour déterminer un côté, connaître les autres et un angle
  • 2.5 Détermination d'un côté, connaître les autres et une diagonale
  • 2.6 Base à partir de la hauteur, de la surface et de toute autre base
  • 2.7 Bases latérales connues, aire et angle
  • 2.8 Médiane latérale, aire et angle connus
  • 2.9 Hauteur connue des côtés
  • 2.10 Hauteur connue, angle et deux côtés
  • 2.11 Diagonales connues de tous les côtés, ou deux côtés et un angle
  • 2.12 Périmètre du triangle isocèle 
  • 2.13 Aire du trapèze isocèle
  • 2.14 Rayon du cercle circonscrit
• 3 Exemples d'utilisation du trapèze isocèle
  • 3.1 En architecture et construction
  • 3.2 Dans la conception
• 4 exercices résolus
  • 4.1 - Exercice 1
  • 4.2 - Exercice 2
• 5 Références

Propriétés

Exclusif au trapèze isocèle

Si un trapèze est isocèle, il possède les propriétés caractéristiques suivantes:

1.- Les côtés ont la même mesure.

2.- Les angles adjacents aux bases sont égaux.

3.- Les angles opposés sont supplémentaires.

4.- Les diagonales ont la même longueur, les deux segments qui rejoignent les sommets opposés étant les mêmes.

5.- L'angle formé entre les bases et les diagonales est tous de la même mesure.

6.- Il a une circonférence circonscrite.

Inversement, si un trapèze remplit l'une des propriétés ci-dessus, il s'agit d'un trapèze isocèle.

Si dans un trapèze isocèle l'un des angles est droit (90 °), alors tous les autres angles seront droits aussi, formant un rectangle. Autrement dit, un rectangle est un cas particulier de trapèze isocèle.

Pour tous les trapèzes

L'ensemble de propriétés suivant est valide pour n'importe quel trapèze:

7.- Le médian du trapèze, c'est-à-dire le segment qui rejoint les milieux de ses côtés non parallèles, est parallèle à l'une des bases.

8.- La longueur de la médiane est égale à la demi-somme (somme divisée par 2) de celle de ses bases.

9.- La médiane d'un trapèze coupe ses diagonales au milieu.

10.- Les diagonales d'un trapèze se coupent en un point qui les divise en deux sections proportionnelles aux quotients des bases.

11.- La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés de ses côtés plus le double produit de ses bases.

12.- Le segment qui rejoint les milieux des diagonales a une longueur égale à la demi-différence des bases.

13.- Les angles adjacents aux latéraux sont supplémentaires.

14.- Un trapèze a une circonférence inscrite si et seulement si la somme de ses bases est égale à la somme de ses côtés.

15.- Si un trapèze a une circonférence inscrite, alors les angles avec un sommet au centre de ladite circonférence et les côtés qui passent par les extrémités du même côté sont des angles droits.

Relations et formules

L'ensemble suivant de relations et de formules se réfère à la figure 3, où en plus du trapèze isocèle, d'autres segments importants déjà mentionnés sont indiqués, tels que les diagonales, la hauteur et la médiane.

Relations uniques du trapèze isocèle

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA et ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º et ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α₁

6.- A, B, C et D appartiennent au cercle circonscrit.

Relations pour n'importe quel trapèze

7. Si AK = KB et DL = LC ⇒ KL || AD et KL || avant JC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 et DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC et DO / OB = AD / BC

11.- AC^deux + DB^deux = AB^deux + DC^deux + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º et ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Si AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R que équidistant de AD, BC, AB et DC

15.- Si ∃ R équidistante de AD, BC, AB et DC, alors:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Relations pour trapèze isocèle avec circonférence inscrite

Si dans un trapèze isocèle la somme des bases est égale à deux fois une latérale, alors la circonférence inscrite existe.

Les propriétés suivantes s'appliquent lorsque le trapèze isocèle a une circonférence inscrite (voir figure 4 ci-dessus):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Les diagonales se coupent à angle droit: AC ⊥ BD

18.- La hauteur mesure la même chose que la médiane: HF = KL, c'est-à-dire h = m.

19.- Le carré de la hauteur est égal au produit des bases: h^deux = BC⋅AD

20.- Dans ces conditions particulières, l'aire du trapèze est égale au carré de la hauteur ou au produit des bases: Aire = h^deux = BC⋅AD.

Formules pour déterminer un côté, connaître les autres et un angle

Connu une base, le latéral et un angle, l'autre base peut être déterminée par:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Si la longueur des bases et un angle sont donnés comme données connues, alors les longueurs des deux côtés sont:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Détermination d'un côté, connaître les autres et une diagonale

a = (d₁^deux - c^deux) / b;

b = (d₁^deux - c^deux)/ à 

c = √ (d₁^deux - a⋅b)

Où d₁ est la longueur des diagonales.

Base à partir de la hauteur, de la surface et de toute autre base

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Bases latérales, surface et angle connus

c = (2A) / [(a + b) sin α]

Médiane latérale, aire et angle connus

c = A / (m sin α)

Hauteur connue des côtés

h = √ [4 c^deux - (un B)^deux]

Hauteur connue un angle et deux côtés

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Diagonales connues de tous les côtés, ou deux côtés et un angle

ré₁ = √ (c^deux+ un B)

ré₁ = √ (une^deux+ c^deux - 2 a c Cos α)

ré₁ = √ (b^deux + c^deux- 2 b c Cos β)

Périmètre du triangle isocèle 

P = a + b + 2c

Zone de trapèze isocèle

Il existe plusieurs formules pour calculer la superficie, en fonction des données connues. Ce qui suit est le plus connu, selon les bases et la hauteur:

A = h⋅ (a + b) / 2

Et vous pouvez également utiliser ces autres:

-Si les côtés sont connus

A = [(a + b) / 4] √ [4c^deux - (un B)^deux]

-Lorsque vous avez deux côtés et un angle

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Si le rayon du cercle inscrit et un angle sont connus

A = 4 r^deux / Sen α = 4 r^deux / Sen β

-Lorsque les bases et un angle sont connus

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β 

-Si le trapèze peut être inscrit une circonférence

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Connaître les diagonales et l'angle qu'elles forment les unes avec les autres

A = (d₁^deux/ 2) Sen γ = (d₁^deux / 2) Sen δ 

-Lorsque vous avez le latéral, la médiane et un angle

A = mc.sen α = mc.sen β

Rayon du cercle circonscrit

Seuls les trapèzes isocèles ont une circonférence circonscrite. Si la plus grande base a, le latéral c et la diagonale d sont connus₁, alors le rayon R du cercle passant par les quatre sommets du trapèze est:

R = a⋅c⋅d₁ / 4√ [p (p -a) (p -c) (p - d₁)]

Où p = (a + c + d₁) / deux

Exemples d'utilisation du trapèze isocèle

Le trapèze isocèle apparaît dans le domaine du design, comme le montre la figure 2. Et voici quelques exemples supplémentaires:

En architecture et construction

Les anciens Incas connaissaient le trapèze isocèle et l'utilisaient comme élément de construction dans cette fenêtre à Cuzco, au Pérou:

Et ici le trapèze réapparaît dans l'appel feuille trapézoïdale, un matériau fréquemment utilisé dans la construction:

Dans la conception

Nous avons déjà vu que le trapèze isocèle apparaît dans les objets du quotidien, y compris les aliments comme cette tablette de chocolat:

Exercices résolus

- Exercice 1

Un trapèze isocèle a une base supérieure à 9 cm, une base inférieure à 3 cm et ses diagonales de 8 cm chacune. Calculer:

de côté

b) Hauteur

c) Périmètre

d) Zone

Solution pour

La hauteur CP = h est tracée, où le pied de la hauteur définit les segments:

PD = x = (a-b) / 2 y 

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

En utilisant le théorème de Pythagore pour le triangle rectangle DPC:

c^deux = h^deux + (un B)^deux / 4

Et aussi vers le triangle rectangle APC:

ré^deux = h^deux + AP^deux = h^deux + (a + b)^deux / 4

Enfin, membre par membre, la deuxième équation est soustraite de la première et simplifiée:

ré^deux - c^deux = ¼ [(a + b)^deux - (un B)^deux] = ¼ [(a + b + a-b) (a + b-a + b)]

ré^deux - c^deux = ¼ [2a 2b] = a b

c^deux= d^deux - a b ⇒ c = √ (d^deux - a b) = √ (8^deux - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Solution b

h^deux = d^deux - (a + b)^deux / 4 = 8^deux - (12^deux / deux^deux ) = 8^deux - 6^deux = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Solution c

Périmètre = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Solution d

Aire = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Exercice 2

Il y a un trapèze isocèle dont la plus grande base est deux fois la plus petite et sa plus petite base est égale à la hauteur, qui est de 6 cm. Décider:

a) La longueur du latéral

b) Périmètre

c) Zone

d) Angles

Solution pour

Données: a = 12, b = a / 2 = 6 et h = b = 6

On procède ainsi: la hauteur h est dessinée et le théorème de Pythagore est appliqué au triangle d'hypoténuse «c» et aux jambes h et x:

c^deux = h^deux+xc^deux

Ensuite, il faut calculer la valeur de la hauteur à partir des données (h = b) et celle de la jambe x: 

a = b + 2 x ⇒ x = (a-b) / 2

En remplaçant les expressions précédentes, nous avons:

c^deux = b^deux+(un B)^deux/deux^deux

Maintenant, les valeurs numériques sont introduites et c'est simplifié:

c^deux = 62+ (12-6) 2/4

c^deux = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Obtention:

c = 3√5 = 6,71 cm

Solution b

Le périmètre P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Solution c

La surface en fonction de la hauteur et de la longueur des bases est:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm^deux

Solution d

L'angle α formé par le latéral avec la plus grande base est obtenu par trigonométrie:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44 °

L'autre angle, celui qui forme le latéral avec la plus petite base, est β, qui est complémentaire à α:

β = 180 ° - α = 180 ° - 63,44 ° = 116,56 °

Les références

1. E. A. 2003. Éléments de géométrie: avec exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
2. Campos, F. 2014. Mathématiques 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Découvrez les polygones. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Polygones généralisés. Birkhäuser.
5. IGER. Mathématiques Premier semestre Tacaná. IGER.
6. Géométrie Jr. 2014. Polygones. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren et Hornsby. 2006. Mathématiques: raisonnement et applications. 10e. Édition. Éducation Pearson.
8. Patiño, M. 2006. Mathématiques 5. Progreso éditorial.
9. Wikipédia. Trapèze. Récupéré de: es.wikipedia.com