UNE trapèze rectangle est une figure plate à quatre côtés, de sorte que deux d'entre eux soient parallèles l'un à l'autre, appelée les bases et aussi l'un des autres côtés est perpendiculaire aux bases.
Pour cette raison, deux des angles internes sont droits, c'est-à-dire qu'ils mesurent 90 °. D'où le nom de «rectangle» donné à la figure. L'image suivante d'un trapèze droit clarifie ces caractéristiques:
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Les éléments du trapèze sont:
-Bases
-Sommets
-Hauteur
-Angles internes
-Base moyenne
-Diagonales
Nous allons détailler ces éléments à l'aide des figures 1 et 2:
Les côtés du trapèze droit sont indiqués par des lettres minuscules a, b, c et d. Les coins de la figure o sommets Ils sont indiqués en majuscules. Finalement, le angles internes Ils sont exprimés en lettres grecques.
Par définition, les bases de ce trapèze sont les côtés a et b, qui, comme on peut le voir, sont parallèles et ont également des longueurs différentes.
Le côté perpendiculaire aux deux bases est le côté c à gauche, qui est le la taille h du trapèze. Et enfin il y a le côté d, qui forme l'angle aigu α avec le côté a.
La somme des angles internes d'un quadrilatère est 360º. On comprend aisément que l'angle manquant C sur la figure est 180 - α.
La base moyenne est le segment joignant les milieux des côtés non parallèles (segment EF sur la figure 2).
Et enfin il y a les diagonales d1 et ddeux, les segments qui joignent les sommets opposés et se coupent au point O (voir figure 2).
h = c
C'est la mesure du contour et se calcule en ajoutant les côtés:
Périmètre = a + b + c + d
Le côté ré s'exprime en termes de hauteur ou de côté c en utilisant le théorème de Pythagore:
d = √ (a-b)deux + cdeux
Substituer dans le périmètre:
P = a + b + c + √ (a-b)deux + cdeux
C'est la demi-somme des bases:
Base moyenne = (a + b) / 2
Parfois, la base moyenne se trouve exprimée de cette manière:
Base moyenne = (Base majeure + base mineure) / 2
L'aire A du trapèze est le produit de la base moyenne par la hauteur:
A = (Base majeure + base mineure) x hauteur / 2
A = (a + b) c / 2
Plusieurs triangles apparaissent sur la figure 2, à la fois droits et non droits. Le théorème de Pythagore peut être appliqué à ceux qui sont des triangles rectangles et à ceux qui ne le sont pas, les théorèmes cosinus et sinus.
De cette manière, des relations sont trouvées entre les côtés et entre les côtés et les angles internes du trapèze..
C'est un rectangle, ses jambes sont égales et valent b, tandis que l'hypoténuse est la diagonale d1, donc:
ré1deux = bdeux + bdeux = 2bdeux
C'est aussi un rectangle, les jambes sont à Oui c (ou aussi à Oui h) et l'hypoténuse est ddeux, de manière que:
rédeuxdeux = adeux + cdeux = adeux + hdeux
Puisque ce triangle n'est pas un triangle rectangle, le théorème du cosinus lui est appliqué, ou aussi le théorème du sinus.
Selon le théorème du cosinus:
ré1deux = adeux + rédeux - 2ad cos α
Ce triangle est un triangle rectangle et avec ses côtés les rapports trigonométriques de l'angle α sont construits:
sin α = h / d
cos α = PD / d
Mais le côté PD = a - b, donc:
cos α = (a-b) / d → a - b = d cos α
a = b + d cos α
Vous avez aussi:
tg α = sin α / cos α = h / (a-b) → h = tg α (a-b)
Dans ce triangle, nous avons l'angle dont le sommet est à C. Il n'est pas marqué sur la figure, mais au début il a été mis en évidence qu'il est de 180 - α. Ce triangle n'est pas un triangle rectangle, donc le théorème du cosinus ou du sinus peut être appliqué..
Maintenant, on peut facilement montrer que:
sin (180 - α) = sin α
cos (180 - α) = - cos α
Application du théorème cosinus:
rédeuxdeux = ddeux + bdeux - 2db cos (180 - α) = ddeux + bdeux + 2db cos α
Les trapèzes et en particulier les trapèzes droits se trouvent sur de nombreux côtés, et parfois pas toujours sous une forme tangible. Ici, nous avons plusieurs exemples:
Les figures géométriques abondent dans l'architecture de nombreux bâtiments, comme cette église de New York, qui montre une structure en forme de trapèze rectangulaire.
De même, la forme trapézoïdale est fréquente dans la conception de récipients, récipients, lames (coupeur ou exact), des badges et en graphisme.
Les signaux électriques peuvent non seulement être carrés, sinusoïdaux ou triangulaires. Il existe également des signaux trapézoïdaux utiles dans de nombreux circuits. Sur la figure 4, il y a un signal trapézoïdal composé de deux trapèzes droits. Entre eux, ils forment un seul trapèze isocèle.
Pour calculer l'intégrale définie de la fonction f (x) entre a et b numériquement, la règle trapézoïdale est utilisée pour approximer l'aire sous le graphique de f (x). Dans la figure suivante, à gauche l'intégrale est approchée avec un seul trapèze droit.
Une meilleure approximation est celle de la figure de droite, avec plusieurs trapèzes droits.
Les forces ne sont pas toujours concentrées sur un seul point, car les corps sur lesquels elles agissent ont des dimensions appréciables. Tel est le cas d'un pont sur lequel circulent des véhicules en continu, de l'eau d'une piscine sur les parois verticales de celle-ci ou d'un toit sur lequel s'accumule l'eau ou la neige..
Pour cette raison, les forces sont réparties par unité de longueur, de surface ou de volume, en fonction du corps sur lequel elles agissent..
Dans le cas d'une poutre, une force répartie par unité de longueur peut avoir différentes distributions, par exemple le trapèze droit illustré ci-dessous:
En réalité, les distributions ne correspondent pas toujours à des formes géométriques régulières comme celle-ci, mais elles peuvent être une bonne approximation dans de nombreux cas..
Les blocs et les images aux formes géométriques, y compris les trapèzes, sont très utiles pour que les enfants se familiarisent avec le monde fascinant de la géométrie dès leur plus jeune âge.
Dans le trapèze droit de la figure 1, la plus grande base est de 50 cm et la plus petite base est égale à 30 cm, on sait également que le côté oblique est de 35 cm. Trouve:
a) Angle α
b) Hauteur
c) Périmètre
d) Base moyenne
e) Zone
f) Diagonales
Les données du relevé sont résumées comme suit:
a = base principale = 50 cm
b = base plus petite = 30 cm
d = côté oblique = 35 cm
Pour trouver l'angle α, nous visitons la section des formules et équations pour voir laquelle correspond le mieux aux données fournies. L'angle recherché se retrouve dans plusieurs des triangles analysés, par exemple le CDP.
Là, nous avons cette formule, qui contient l'inconnu et aussi les données que nous connaissons:
cos α = (a-b) / d
Donc:
α = arcs [(a-b) / d] = arcs [(50-30) / 35] = arcs 20/35 = 55,15 º
De l'équation:
sin α = h / d
Il efface h:
h = d. sin α = 35 sin 55,15 º cm = 28,72 cm
Le périmètre est la somme des côtés, et puisque la hauteur est égale au côté c, nous avons:
c = h = 28,72 cm
Donc:
P = (50 + 30 + 35 + 28,72) cm = 143,72 cm
La base moyenne est la demi-somme des bases:
Base moyenne = (50 + 30 cm) / 2 = 40 cm
L'aire du trapèze est:
A = base moyenne x hauteur = 40 cm x 28,72 = 1148,8 cmdeux.
Pour la diagonale d1 vous pouvez utiliser cette formule:
ré1deux = bdeux + bdeux = 2bdeux
ré1deux= 2 x (30 cm)deux = 1800 cmdeux
ré1 = √1800 cmdeux = 42,42 cm
Et pour la diagonale ddeux:
rédeuxdeux = ddeux + bdeux + 2db cos α = (35 cm)deux + (30 cm)deux + 2 x 35 x 30 cmdeux cos 55,15 º = 3325 cmdeux
rédeux = √ 3325 cmdeux = 57,66 cm
Ce n'est pas la seule façon de trouver ddeux, car il y a aussi le triangle DAB.
Le graphique suivant de la vitesse en fonction du temps appartient à un mobile qui a un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Calculez la distance parcourue par le mobile pendant l'intervalle de temps entre 0,5 et 1,2 seconde.
La distance parcourue par le mobile est numériquement équivalente à la zone sous le graphique, délimitée par l'intervalle de temps indiqué.
La zone ombrée est la zone d'un trapèze droit, donnée par:
A = (Base majeure + base mineure) x hauteur / 2
A = (1,2 + 0,7) m / s x (1,2 - 0,5) s / 2 = 0,665 m
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